Biophysics · 15.03

周期・非周期信号のFourier theorem

Fourier-theorem for periodic and aperiodic signals

🧠 フーリエ解析Fourier analysisフーリエ解析（Fourier analysis）Fourier analysis（フーリエ解析）は、時間波形を周波数の異なる正弦波sine wave正弦波（sine wave）sine wave（正弦波）成分へ分け、波形に含まれる律動・高調波・雑音・必要帯域を見える形にする。

周期信号のフーリエ級数

周期 $T$ 、基本角周波数angular frequency角周波数（angular frequency）angular frequency（角周波数） $\omega_0=2\pi/T$ の信号は、

x(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_n\cos(n\omega_0t)+b_n\sin(n\omega_0t)\right]

と直流direct current (DC)直流（direct current (DC)）direct current (DC)（直流）成分・基本波・整数倍高調波の和で表せる。滑らかな正弦波sine wave正弦波（sine wave）sine wave（正弦波）は一成分だが、急峻steep (dose gradient)急峻（steep (dose gradient)）steep (dose gradient)（急峻）部をもつ波形には高い高調波が必要になる。

非周期信号のフーリエ変換

周期を無限に長くした極限では周波数間隔が連続となり、単発パルスや有限時間記録を連続スペクトルcontinuous spectrum連続スペクトル（continuous spectrum）continuous spectrum（連続スペクトル）で扱う。実測データは有限長なので窓関数処理windowing窓関数処理（windowing）windowing（窓関数処理）によるスペクトル漏れ（spectral leakage）が生じる。

生体信号での利用

ECG・EEG・EMGの律動と雑音帯域を分離し、フィルターbarrierフィルター（barrier）barrier（フィルター）設計やパワースペクトルpower spectrumパワースペクトル（power spectrum）power spectrum（パワースペクトル）解析へ使う。ただし周波数スペクトルだけでは、成分がいつ現れたかという時間情報が失われる。

まとめ

周期信号は離散的高調波、非周期信号は連続スペクトルcontinuous spectrum連続スペクトル（continuous spectrum）continuous spectrum（連続スペクトル）で表す。
急な時間変化ほど高周波high frequency高周波（high frequency）high frequency（高周波）成分を必要とする。
周波数解析は帯域を示すが、時間局在と有限記録の影響に注意する。