Biophysics · 02.02

フェルマーの原理

Fermat’s principle

🧠 フェルマーの原理Fermat's principleフェルマーの原理（Fermat's principle）Fermat's principle（フェルマーの原理）（Fermat’s principle）は、光が「最短距離」ではなく、光学的移動時間が停留stationary停留（stationary）stationary（停留）となる経路を選ぶという統一原理である。

光学距離と停留条件

2点間を結ぶ実際の光路では、近傍の経路へわずかにずらしても到達時間の一次変化がゼロになる。これにより直進、反射、屈折を同じ原理から導ける。

flowchart TD
  A["候補経路ごとにOPLを計算"]
  B["移動時間が<span class='jp-term jp-term-diagram' title='stationary'>停留</span>となる条件"]
  C["実際の光路が決まる"]
  A --> B
  B --> C

フェルマーの原理から導ける法則

\delta\!\int_A^B n\,ds=0

$n$ は屈折率refractive index屈折率（refractive index）refractive index（屈折率）、 $ds$ は微小経路長であり、積分は光路長optical path length光路長（optical path length）optical path length（光路長）を表す。

「最短」と「停留」の違い

均質媒質での直進は幾何光学geometric optics幾何光学（geometric optics）geometric optics（幾何光学）の光線近似に対応し、境界で停留stationary停留（stationary）stationary（停留）条件を課すと反射の法則が導かれる。

一様媒質では $n$ が一定なので、停留stationary停留（stationary）stationary（停留）な経路は直線になる。
反射面では変分条件から入射角angle of incidence入射角（angle of incidence）angle of incidence（入射角）と反射角angle of reflection反射角（angle of reflection）angle of reflection（反射角）が等しくなる。
屈折率refractive index屈折率（refractive index）refractive index（屈折率）が異なる境界では、距離が長くても速い媒質を多く通る経路が選ばれうる。

医学・測定への応用

段階的に屈折率refractive index屈折率（refractive index）refractive index（屈折率）が変化する屈折率refractive index屈折率（refractive index）refractive index（屈折率）分布型レンズや蜃気楼mirage蜃気楼（mirage）mirage（蜃気楼）では、光路が曲線になることも説明できる。

まとめ

フェルマーの原理Fermat's principleフェルマーの原理（Fermat's principle）Fermat's principle（フェルマーの原理）は、光が「最短距離」ではなく、光学的移動時間が停留stationary停留（stationary）stationary（停留）となる経路を選ぶという統一原理である。
一様媒質では $n$ が一定なので、停留stationary停留（stationary）stationary（停留）な経路は直線になる。
段階的に屈折率refractive index屈折率（refractive index）refractive index（屈折率）が変化する屈折率refractive index屈折率（refractive index）refractive index（屈折率）分布型レンズや蜃気楼mirage蜃気楼（mirage）mirage（蜃気楼）では、光路が曲線になることも説明できる。