Shannon–Nyquist theorem

🧠 Shannon–Nyquistの標本化定理sampling theorem標本化定理（sampling theorem）sampling theorem（標本化定理）は、帯域制限された信号を再構成するには、最高周波数high-frequency高周波数（high-frequency）high-frequency（高周波数）の2倍を超える標本化sampling標本化（sampling）sampling（標本化）周波数が必要だと示す。

Nyquist条件

最高周波数high-frequency高周波数（high-frequency）high-frequency（高周波数）を$f_{max}$、標本化sampling標本化（sampling）sampling（標本化）周波数を$f_s$とすると、

が必要である。$f_s/2$をNyquist周波数という。等号ぎりぎりでは位相や実在フィルターbarrierフィルター（barrier）barrier（フィルター）の遷移帯域に余裕reserve余裕（reserve）reserve（余裕）がないため、実装ではさらに高く設定する。

エイリアシング

Nyquist周波数を超える成分を標本化sampling標本化（sampling）sampling（標本化）すると、標本点だけでは区別できない低周波low frequency低周波（low frequency）low frequency（低周波）成分として折り返される。エイリアシングaliasingエイリアシング（aliasing）aliasing（エイリアシング）後の偽信号はデジタルデータdigital dataデジタルデータ（digital data）digital data（デジタルデータ）内で本物と区別できないため、後処理だけでは元に戻せない。

実用的な測定系

アナログ・アンチエイリアシング低域通過フィルターanalog anti-aliasing low-pass filterアンチエイリアシング低域通過フィルター（analog anti-aliasing low-pass filter）analog anti-aliasing low-pass filter（アンチエイリアシング低域通過フィルター）で入力帯域を制限してからA/D変換する。必要な$f_{max}$は生体信号の帯域と保存したい波形特徴から決める。

⚠️ 標本化sampling標本化（sampling）sampling（標本化）率を上げても、前段増幅器amplifier増幅器（amplifier）amplifier（増幅器）やフィルターbarrierフィルター（barrier）barrier（フィルター）が失った周波数成分は回復しない。

まとめ

• 帯域制限信号の再構成には$f_s>2f_{max}$が必要である。
• 条件違反では高周波high frequency高周波（high frequency）high frequency（高周波）が偽の低周波low frequency低周波（low frequency）low frequency（低周波）へ折り返す。
• 実装ではアナログ・アンチエイリアシングaliasingエイリアシング（aliasing）aliasing（エイリアシング）フィルターbarrierフィルター（barrier）barrier（フィルター）と標本化sampling標本化（sampling）sampling（標本化）余裕reserve余裕（reserve）reserve（余裕）を組み合わせる。