崩壊法則の微分形と積分形

🧠 放射性崩壊法則radioactive decay law 放射性崩壊法則（radioactive decay law）radioactive decay law（放射性崩壊法則） では各核が一定確率で独立に崩壊するため、未崩壊核数number of undecayed nuclei 未崩壊核数（number of undecayed nuclei）number of undecayed nuclei（未崩壊核数） と放射能 activity 放射能（activity） activity（放射能） はいずれも指数関数的 exponentially 指数関数的（exponentially） exponentially（指数関数的） に減少する。¹²

微分形が表す仮定

短い時間$dt$に崩壊する核数は、その時点の核数$N$に比例する。

$\lambda$は単位時間あたりの崩壊確率を表す崩壊定数 decay constant 崩壊定数（decay constant） decay constant（崩壊定数） で、一定の核種では時間や核数に依存しない。負号は$N$が減ることを示す。

積分形と放射能

初期条件$N(0)=N_0$で積分すると、

となる。$A=\lambda N$なので、

も同じ形をとる。

指数減衰の読み方

同じ時間幅ごとに同じ割合が減るのであり、同じ個数が減るのではない。$N$は期待値として連続曲線で表すが、実際の崩壊事象は離散的・確率的stochastic (vs. deterministic) 確率的（stochastic (vs. deterministic)）stochastic (vs. deterministic)（確率的） である。$\lambda$から直感的な時間尺度へ変換する方法は半減期と平均寿命 mean lifetime平均寿命（mean lifetime） mean lifetime（平均寿命）で扱う。

まとめ

• 微分形$dN/dt=-\lambda N$は崩壊率が残存核数 number of surviving nuclei 残存核数（number of surviving nuclei） number of surviving nuclei（残存核数） に比例することを示す。
• 積分すると核数と放射能 activity 放射能（activity） activity（放射能） はいずれも指数減衰 exponential decay 指数減衰（exponential decay） exponential decay（指数減衰） する。
• 一定時間ごとに一定量ではなく、一定割合が減少する。