Biophysics · 06.04

Maxwell＝Boltzmann速度分布

Maxwell-Boltzmann velocity distribution

🧠 同じ温度でも全分子が同じ速度で動くのではなく、マクスウェルMaxwellマクスウェル（Maxwell）Maxwell（マクスウェル）＝ボルツマンBoltzmannボルツマン（Boltzmann）Boltzmann（ボルツマン）速度分布（Maxwell–Boltzmann speed distribution）に従う。

速さは単一値ではなく分布する

分布は0から立ち上がりupstroke立ち上がり（upstroke）upstroke（立ち上がり）最確速度most probable speed最確速度（most probable speed）most probable speed（最確速度）でピークとなり、高速側へ裾を引く。温度上昇でピークは低く右へ移る。

flowchart TD
  A["多数粒子の速度成分が確率分布"]
  B["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='speed distribution'>速度分布</span>形成"]
  C["温度と分子質量で形が変化"]
  A --> B
  B --> C

Maxwell＝Boltzmann分布

v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2k_BT}{m}},\quad \bar v=\sqrt{\frac{8k_BT}{\pi m}},\quad v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}}

常に $v_{mp}<v_{mean}<v_{rms}$ 。軽い分子ほど同温度で速い。

温度と分子質量の効果

速度分布の指数因子はBoltzmann分布の運動エネルギーkinetic energy運動エネルギー（kinetic energy）kinetic energy（運動エネルギー）への適用であり、その $\langle v^2\rangle$ が気体圧力gas pressure気体圧力（gas pressure）gas pressure（気体圧力）を決める。

分布の面積は粒子総数に対応。
高エネルギー側の裾にある分子が、化学反応chemical reaction化学反応（chemical reaction）chemical reaction（化学反応）や蒸発evaporation蒸発（evaporation）evaporation（蒸発）に寄与する。
平均速度ベクトルmean velocity vector平均速度ベクトル（mean velocity vector）mean velocity vector（平均速度ベクトル）は平衡で0でも平均速さ（mean speed）は0でない。

生体・医学での解釈

O₂とCO₂の分子運動や気体拡散gas diffusion気体拡散（gas diffusion）gas diffusion（気体拡散）速度の比較に使う。

まとめ

同じ温度でも全分子が同じ速度ではなく、マクスウェルMaxwellマクスウェル（Maxwell）Maxwell（マクスウェル）＝ボルツマンBoltzmannボルツマン（Boltzmann）Boltzmann（ボルツマン）分布（Maxwell–Boltzmann distribution）に従う広い速度分布をもつ。
分布の面積は粒子総数に対応。
O₂とCO₂の分子運動や気体の拡散速度の比較に使う。