Biophysics · 06.05

Boltzmann分布

Boltzmann distribution

🧠 熱平衡thermal equilibrium熱平衡（thermal equilibrium）thermal equilibrium（熱平衡）では、高いエネルギー状態ほど占有occupy占有（occupy）occupy（占有）確率が指数関数的exponentially指数関数的（exponentially）exponentially（指数関数的）に低くなる。

エネルギー差と占有数

状態のエネルギーと縮退度degeneracy縮退度（degeneracy）degeneracy（縮退度）が占有数population占有数（population）population（占有数）を決め、 $k_BT$ がエネルギー差に対する熱的尺度になる。

flowchart TD
  A["エネルギー状態を用意"]
  B["熱揺らぎ（thermal fluctuation）で遷移"]
  C["平衡<span class='jp-term jp-term-diagram' title='population'>占有数</span>が<span class='jp-term jp-term-diagram' title='Boltzmann factor'>ボルツマン因子</span>へ収束"]
  A --> B
  B --> C

Boltzmann因子

P_i=\frac{g_i e^{-E_i/(k_BT)}}{Z},\qquad \frac{N_2}{N_1}=\frac{g_2}{g_1}e^{-\Delta E/(k_BT)}

$Z$ は分配関数partition function分配関数（partition function）partition function（分配関数）、 $g_i$ は縮退度degeneracy縮退度（degeneracy）degeneracy（縮退度）。

縮退度と温度の効果

速度分布はBoltzmann因子を並進運動エネルギーkinetic energy運動エネルギー（kinetic energy）kinetic energy（運動エネルギー）へ適用した例である。Boltzmann因子は個々のエネルギー状態の占有occupy占有（occupy）occupy（占有）確率を与え、許される配置全体を数えるミクロ状態とマクロ状態へ統計的記述を拡張できる。

$ΔE≫k_BT$ なら高エネルギー状態はほぼ空。
温度上昇で分布は平坦化。
占有数比population ratio占有数比（population ratio）population ratio（占有数比）はエネルギー原点energy zeroエネルギー原点（energy zero）energy zero（エネルギー原点）の選び方に依存しない。

生体・医学での解釈

イオン分布、タンパク質の立体配座conformation立体配座（conformation）conformation（立体配座）、反応速度reaction rate反応速度（reaction rate）reaction rate（反応速度）を統一的に扱う。

まとめ

熱平衡thermal equilibrium熱平衡（thermal equilibrium）thermal equilibrium（熱平衡）では、高いエネルギー状態ほど占有occupy占有（occupy）occupy（占有）確率が指数関数的exponentially指数関数的（exponentially）exponentially（指数関数的）に低くなる。
$ΔE≫k_BT$ なら高エネルギー状態はほぼ空。
イオン分布、タンパク質の立体配座conformation立体配座（conformation）conformation（立体配座）、反応速度reaction rate反応速度（reaction rate）reaction rate（反応速度）を統一的に扱う。