Biophysics · 12.11

崩壊法則の微分形と積分形

Differential and integral forms of the decay law

🧠 放射性崩壊法則radioactive decay law放射性崩壊法則（radioactive decay law）radioactive decay law（放射性崩壊法則）では各核が一定確率で独立に崩壊するため、未崩壊核数と放射能activity放射能（activity）activity（放射能）はいずれも指数関数的exponentially指数関数的（exponentially）exponentially（指数関数的）に減少する。

微分形が表す仮定

短い時間 $dt$ に崩壊する核数は、その時点の核数 $N$ に比例する。

\frac{dN}{dt}=-\lambda N

$\lambda$ は単位時間あたりの崩壊確率を表す崩壊定数で、一定の核種では時間や核数に依存しない。負号は $N$ が減ることを示す。

積分形と放射能

初期条件 $N(0)=N_0$ で積分すると、

N(t)=N_0e^{-\lambda t}

となる。 $A=\lambda N$ なので、

A(t)=A_0e^{-\lambda t}

も同じ形をとる。

指数減衰の読み方

同じ時間幅ごとに同じ割合が減るのであり、同じ個数が減るのではない。 $N$ は期待値として連続曲線で表すが、実際の崩壊事象は離散的・確率的stochastic (vs. deterministic)確率的（stochastic (vs. deterministic)）stochastic (vs. deterministic)（確率的）である。 $\lambda$ から直感的な時間尺度へ変換する方法は半減期と平均寿命mean lifetime平均寿命（mean lifetime）mean lifetime（平均寿命）で扱う。

まとめ

微分形 $dN/dt=-\lambda N$ は崩壊率が残存核数に比例することを示す。
積分すると核数と放射能activity放射能（activity）activity（放射能）はいずれも指数減衰する。
一定時間ごとに一定量ではなく、一定割合が減少する。