Biophysics · 18.03

ブラウン運動―ランダムウォーク

Brownian motion — random walk

🧠 ブラウン運動Brownian motionブラウン運動（Brownian motion）Brownian motion（ブラウン運動）は微粒子が周囲分子から不規則な衝突を受ける運動である。 ランダムウォークrandom walkランダムウォーク（random walk）random walk（ランダムウォーク）では各ステップの方向が独立である。

ランダムウォークの統計

各ステップの向きが独立なら平均変位は0でも平均二乗変位は時間に比例して増える。多数回のランダムな衝突を巨視的macroscopic巨視的（macroscopic）macroscopic（巨視的）なDでまとめることで、微視的運動と拡散方程式diffusion equation拡散方程式（diffusion equation）diffusion equation（拡散方程式）がつながる。

ブラウン運動―ランダムウォークを表す式

\langle x^2\rangle=2Dt

一次元では平均二乗変位が $2Dt$ 、三次tertiary三次（tertiary）tertiary（三次）元では $6Dt$ となる。 $D$ の単位はm²/sである。

衝突から平均二乗変位へ

1次元では⟨x²⟩=2Dtである。

flowchart TD
  A["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='random walk'>ランダムウォーク</span>の統計"] --> B
  B["衝突から平均二乗変位へ"] --> C
  C["1次元では⟨x²⟩=2Dtである"] --> D
  D["自由拡散近似の範囲"]

自由拡散近似の範囲

熱運動thermal motion熱運動（thermal motion）thermal motion（熱運動）をランダムウォークrandom walkランダムウォーク（random walk）random walk（ランダムウォーク）として見ると、平均変位は0でも平均二乗変位は時間とともに増え、1次元では $\langle x^2\rangle=2Dt$ となる。この式から得る拡散係数diffusion coefficient拡散係数（diffusion coefficient）diffusion coefficient（拡散係数） $D$ を粒径・粘度・温度へ結びつけるのがアインシュタインEinsteinアインシュタイン（Einstein）Einstein（アインシュタイン）–ストークスStokesストークス（Stokes）Stokes（ストークス）方程式である。

微視的な段階の蓄積を巨視的macroscopic巨視的（macroscopic）macroscopic（巨視的）な拡散係数diffusion coefficient拡散係数（diffusion coefficient）diffusion coefficient（拡散係数）へ結びつける。式は自由な一次元拡散の形であり、次元数、境界、束縛bound (electron)束縛（bound (electron)）bound (electron)（束縛）、異常拡散では係数や時間依存性time-dependent時間依存性（time-dependent）time-dependent（時間依存性）が変わる。

まとめ

ブラウン運動Brownian motionブラウン運動（Brownian motion）Brownian motion（ブラウン運動）は微粒子が周囲分子から不規則な衝突を受ける運動である。ランダムウォークrandom walkランダムウォーク（random walk）random walk（ランダムウォーク）では平均変位は0でも平均二乗変位は増える。
1次元では⟨x²⟩=2Dtである。
微視的な段階の蓄積を巨視的macroscopic巨視的（macroscopic）macroscopic（巨視的）な拡散係数diffusion coefficient拡散係数（diffusion coefficient）diffusion coefficient（拡散係数）へ結びつける。