Biophysics · 18.04

拡散係数―アインシュタイン–ストークス方程式

The diffusion coefficient — Einstein–Stokes equation

🧠 拡散係数diffusion coefficient拡散係数（diffusion coefficient）diffusion coefficient（拡散係数） $D$ は拡散の速さを表す。 温度が高いほど $D$ は大きく、粘度と粒子半径が大きいほど小さい。

熱揺らぎと粘性抵抗

アインシュタインEinsteinアインシュタイン（Einstein）Einstein（アインシュタイン）–ストークスStokesストークス（Stokes）Stokes（ストークス）式は球形粒子、希薄rarefaction希薄（rarefaction）rarefaction（希薄）溶液、低Reynolds数、連続流体という近似に基づく。熱揺らぎkBTが拡散を強め、粘性viscosity粘性（viscosity）viscosity（粘性）抵抗6πηrが運動を妨げる。

拡散係数―アインシュタイン–ストークス方程式を表す式

D=\frac{k_BT}{6\pi\eta r}

$k_B$ はBoltzmann定数、 $T$ は絶対温度、 $\eta$ は粘度、 $r$ は粒子半径である。

粒径・粘度から拡散係数へ

高粘度・大粒子ほど抗力drag force抗力（drag force）drag force（抗力）が増えDは小さい。

flowchart TD
  A["熱揺らぎと<span class='jp-term jp-term-diagram' title='viscosity'>粘性</span>抵抗"] --> B
  B["粒径・粘度から<span class='jp-term jp-term-diagram' title='diffusion coefficient'>拡散係数</span>へ"] --> C
  C["高粘度・大粒子ほど<span class='jp-term jp-term-diagram' title='drag force'>抗力</span>が増えDは小さい"] --> D
  D["混雑した細胞内での限界"]

混雑した細胞内での限界

ブラウン運動Brownian motionブラウン運動（Brownian motion）Brownian motion（ブラウン運動）の広がりを表す $D$ は高温ほど大きく、高粘度・大粒子ほど小さい。分母の $6\pi\eta r$ は低レイノルズ数Reynolds numberレイノルズ数（Reynolds number）Reynolds number（レイノルズ数）でのストークスStokesストークス（Stokes）Stokes（ストークス）抗力drag force抗力（drag force）drag force（抗力）に由来し、熱揺らぎと粘性viscosity粘性（viscosity）viscosity（粘性）抵抗の釣り合いを表す。

分子大きさ推定や生体内in vivo生体内（in vivo）in vivo（生体内）拡散速度の理解に使う。細胞質の混雑や高分子の非球形性、膜との相互作用が強い場合には単純式から外れる。

まとめ

アインシュタインEinsteinアインシュタイン（Einstein）Einstein（アインシュタイン）・ストークスStokesストークス（Stokes）Stokes（ストークス）の式は球状spherical球状（spherical）spherical（球状）粒子のDを温度・粘度・半径へ結びつける。高温ほどDは大きい。
高粘度・大粒子ほど抗力drag force抗力（drag force）drag force（抗力）が増えDは小さい。
分子大きさ推定や生体内in vivo生体内（in vivo）in vivo（生体内）拡散速度の理解に使う。