Biophysics · 24.03

粘弾性（viscoelasticity） I：力学モデル

Viscoelasticity I — mechanical model

🧠 粘弾性viscoelasticity粘弾性（viscoelasticity）viscoelasticity（粘弾性）とは、直ちに戻る弾性と、時間をかけて変形する粘性viscosity粘性（viscosity）viscosity（粘性）が共存する性質であり、生体組織の時間依存応答を説明する。

ばねとダッシュポット

ばねspringばね（spring）spring（ばね）はフックの法則Hooke's lawフックの法則（Hooke's law）Hooke's law（フックの法則）に従う弾性要素で、応力を除くと元の長さへ戻る。ダッシュポットdashpotダッシュポット（dashpot）dashpot（ダッシュポット）は粘性viscosity粘性（viscosity）viscosity（粘性）要素で、応力が変形速度に比例する。

\sigma_{\mathrm{spring}}=E\varepsilon,\qquad \sigma_{\mathrm{

ここで $E$ は弾性率、 $η$ は粘性係数dynamic viscosity粘性係数（dynamic viscosity）dynamic viscosity（粘性係数）である。この2要素の接続方法により、異なる時間応答を表現できる。

代表的な力学モデル

モデル	接続	共通になる量	代表的な応答
マクスウェルMaxwellマクスウェル（Maxwell）Maxwell（マクスウェル）モデル	直列serial (organ architecture, vs. parallel)直列（serial (organ architecture, vs. parallel)）serial (organ architecture, vs. parallel)（直列）	応力	応力緩和stress relaxation応力緩和（stress relaxation）stress relaxation（応力緩和）
ケルビンKelvinケルビン（Kelvin）Kelvin（ケルビン）・フォークトVoigtフォークト（Voigt）Voigt（フォークト）モデル	並列	ひずみstrainひずみ（strain）strain（ひずみ）	クリープcreepクリープ（creep）creep（クリープ）

ケルビンKelvinケルビン（Kelvin）Kelvin（ケルビン）・フォークトVoigtフォークト（Voigt）Voigt（フォークト）モデルでは全応力がばねspringばね（spring）spring（ばね）とダッシュポットdashpotダッシュポット（dashpot）dashpot（ダッシュポット）へ分配される。

\sigma=E\varepsilon+\eta\frac{d\varepsilon}{dt}

一定応力に対するクリープ

一定応力を加えると、ダッシュポットdashpotダッシュポット（dashpot）dashpot（ダッシュポット）が急変sudden deterioration (acute decompensation)急変（sudden deterioration (acute decompensation)）sudden deterioration (acute decompensation)（急変）を妨げるため、ひずみstrainひずみ（strain）strain（ひずみ）は時間とともに増えて平衡値へ近づく。この遅延変形をクリープcreepクリープ（creep）creep（クリープ）という。

flowchart TD
  A["一定応力を加える"] --> B["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='dashpot'>ダッシュポット</span>が急な変形を抑える"]
  B --> C["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='strain'>ひずみ</span>が徐々に増える<br><span class='jp-term jp-term-diagram' title='creep'>クリープ</span>"]
  C --> D["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='spring'>ばね</span>力と外力が釣り合う"]
  D --> E["除荷後も時間をかけて回復する"]

応力を一定に保つ実験と、ひずみstrainひずみ（strain）strain（ひずみ）を一定に保つ応力緩和stress relaxation応力緩和（stress relaxation）stress relaxation（応力緩和）では、入力と観測量が逆になる。

まとめ

ばねspringばね（spring）spring（ばね）は弾性、ダッシュポットdashpotダッシュポット（dashpot）dashpot（ダッシュポット）は粘性viscosity粘性（viscosity）viscosity（粘性）を表す理想要素である。
マクスウェルMaxwellマクスウェル（Maxwell）Maxwell（マクスウェル）モデルは応力緩和stress relaxation応力緩和（stress relaxation）stress relaxation（応力緩和）、ケルビンKelvinケルビン（Kelvin）Kelvin（ケルビン）・フォークトVoigtフォークト（Voigt）Voigt（フォークト）モデルはクリープcreepクリープ（creep）creep（クリープ）の説明に適する。
接続様式と実験条件を対応させると、生体組織の時間依存変形を整理できる。