Biophysics · 24.02

生体力学II：フックの法則とヤング率（Young's modulus）

Biomechanics II — Hooke’s law, Young’s modulus

🧠 フックの法則Hooke's lawフックの法則（Hooke's law）Hooke's law（フックの法則）は線形弾性域での比例関係を表し、ヤング率Young's modulusヤング率（Young's modulus）Young's modulus（ヤング率）はその比例の強さ、すなわち材料の剛性stiffness剛性（stiffness）stiffness（剛性）を表す。

線形弾性とヤング率

応力–ひずみstrainひずみ（strain）strain（ひずみ）線図の初期直線部では、応力 $σ$ がひずみstrainひずみ（strain）strain（ひずみ）（strain） $ε$ に比例する。

σ=E\varepsilon,\qquad E=\frac{\sigma}{\varepsilon}

比例定数 $E$ がヤング率Young's modulusヤング率（Young's modulus）Young's modulus（ヤング率）で、単位は応力と同じ Pa である。 $E$ が大きいほど、同じ応力に対するひずみstrainひずみ（strain）strain（ひずみ）は小さい。ただし、この式が成り立つのは比例限界内の小変形に限られる。

材料特性と試料形状を分ける

一様な棒を軸方向へ伸ばす場合、力 $F$ と伸び $x$ の関係は $F=kx$ と書ける。ばねspringばね（spring）spring（ばね）定数 $k$ は試料全体の硬さであり、材料定数だけでなく断面積 $A$ と長さ $L$ に依存する。

k=\frac{EA}{L}

flowchart TD
  A["材料の<span class='jp-term jp-term-diagram' title='Young&#39;s modulus'>ヤング率</span> E"] --> B["断面積 A が大きいほど k 増加"]
  B --> C["長さ L が大きいほど k 減少"]
  C --> D["試料全体の<span class='jp-term jp-term-diagram' title='spring'>ばね</span>定数 k"]

したがって、異なる寸法の試料を比較するときは $k$ ではなく $E$ を使う。逆に、骨や腱など器官全体の変形を考えるときは形状の寄与も無視neglect無視（neglect）neglect（無視）できない。

生体材料への適用限界

軟組織や血管は非線形non-linear非線形（non-linear）non-linear（非線形）かつ時間依存的であり、広い変形域を一つの $E$ で表せない。負荷速度に依存する応答は粘弾性viscoelasticity粘弾性（viscoelasticity）viscoelasticity（粘弾性）、非線形non-linear非線形（non-linear）non-linear（非線形）な動脈壁は弾性動脈elastic artery弾性動脈（elastic artery）elastic artery（弾性動脈）の伸展性distensibility伸展性（distensibility）distensibility（伸展性）で扱う。

💡 ヤング率Young's modulusヤング率（Young's modulus）Young's modulus（ヤング率）は「壊れにくさ」ではない。剛性stiffness剛性（stiffness）stiffness（剛性）は弾性域の勾配、破壊強度は破断まで耐えられる応力である。

まとめ

線形弾性域では $\sigma=E\varepsilon$ が成り立つ。
ヤング率Young's modulusヤング率（Young's modulus）Young's modulus（ヤング率） $E$ は材料固有の剛性stiffness剛性（stiffness）stiffness（剛性）、ばねspringばね（spring）spring（ばね）定数 $k$ は材料と試料形状の両方を反映する。
生体軟組織の非線形non-linear非線形（non-linear）non-linear（非線形）・時間依存応答には、単一のフックhookフック（hook）hook（フック）モデルだけでは不十分である。