平均の比較 — 1標本・対応なし・対応ありのt検定

🧠 全体像：t検定 t-test t検定（t-test） t-test（t検定） はただ1つの形をしている。「見えている差」÷「その差が偶然 chance 偶然（chance） chance（偶然） だけで揺らぐ幅」。分子が効果量、分母が標準誤差である。1標本・対応なし・対応ありの3種類は、この分数の中身をデータの構造に合わせて詰め替えているだけで、対応ありのt検定 t-test t検定（t-test） t-test（t検定） は「差」というひとつの変数 variables 変数（variables） variables（変数） に対する1標本t検定 one-sample t-test 1標本t検定（one-sample t-test） one-sample t-test（1標本t検定） そのものである。3つを別々の公式 official 公式（official） official（公式） として覚えるのではなく、この1本の分数として覚える。

t分布 — なぜ正規分布ではないのか

中心極限定理central limit theorem 中心極限定理（central limit theorem）central limit theorem（中心極限定理） により、標本平均は正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） に従う。母標準偏差 standard deviation標準偏差（standard deviation） standard deviation（標準偏差） $\sigma$ が既知なら標準正規分布 standard normal distribution 標準正規分布（standard normal distribution） standard normal distribution（標準正規分布） の変数 variables 変数（variables） variables（変数） が作れる。

しかし実際には $\sigma$ は分からない。そこで標本標準偏差 standard deviation標準偏差（standard deviation） standard deviation（標準偏差） $s$（SD）で代用する。

⭐ 分母を推定値に置き換えたことで、この統計量はもはや標準正規分布 standard normal distribution 標準正規分布（standard normal distribution） standard normal distribution（標準正規分布） に従わない。従うのが t分布Student t-distributiont分布（Student t-distribution）Student t-distribution（t分布）（自由度degrees of freedom自由度（degrees of freedom）degrees of freedom（自由度） $f = n-1$）である。Gosset がギネス社の化学者として品質管理 quality control 品質管理（quality control） quality control（品質管理） の小標本を扱う中で導き、社員として実名で発表できなかったため Student という筆名を使った。

💡 裾が厚いことの意味は明確である。$s$ 自体が誤差を含むため、「たまたま $s$ を小さく見積もったせいで t が大きく出た」可能性が上乗せ add-on (incremental benefit) 上乗せ（add-on (incremental benefit)） add-on (incremental benefit)（上乗せ） される。分布はその分だけ外側に確率を配り、結果として棄却の閾値が正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） より遠くなる。だから小標本の信頼区間 confidence interval 信頼区間（confidence interval） confidence interval（信頼区間） は広い。

1標本 t検定

問いの立て方

問い：Framingham の患者集団の平均心拍数 $\mu$ は、基準値baseline / reference value基準値（baseline / reference value）baseline / reference value（基準値） $\mu_0 = 80$ min⁻¹ と異なるか。

⭐ relevance の閾値をデータを見る前に宣言していることに注目する。これが「有意だが無意味な差」に流されないための唯一の防具である。

検定統計量

実習の値を入れる。$s = 12.4904$、$n = 3259$ なので

💡 t値の意味：分子が観測された差＝効果量、分母が平均のランダムなゆらぎ（SE）。すなわち t値は「効果量を、偶然chance 偶然（chance）chance（偶然） のゆらぎの単位で測ったもの」である。t値が大きいほど、その差が偶然 chance 偶然（chance） chance（偶然） である説明が苦しくなる。

⚠️ したがって t値は効果の大きさではない。$n$ を増やせば分母が小さくなるので、同じ差でも t値はいくらでも大きくなる。

適用条件

⚠️ 「データが必ず正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） していなければならない」は誤解である。 必要なのは平均の分布の正規性であって、データそのものの正規性ではない。$n$ が十分大きければ、データがどんな分布でも中心極限定理 central limit theorem 中心極限定理（central limit theorem） central limit theorem（中心極限定理） により平均は正規に近づく。実習の例（$n = 3259$）では、心拍数の分布が正規でなくても条件は満たされる。

正規性を仮説検定で確かめない。 Shapiro–Wilk 検定などを前段に挟むと、それ自体が検定の追加になり第1種の過誤 type I error 第1種の過誤（type I error） type I error（第1種の過誤） を歪める（多重性の問題multiplicity problem多重性の問題（multiplicity problem）multiplicity problem（多重性の問題） → 多重比較multiple comparisons多重比較（multiple comparisons）multiple comparisons（多重比較））。しかも $n$ が大きいと些細な逸脱でも「非正規」と判定され、$n$ が小さいと検出力不足で何も検出できないという、必要とは逆の挙動をする。変数variables 変数（variables）variables（変数） についての既存の知識と、ヒストグラム・QQプロットで判断する。

結果を読む

💡 出力を読む順序

1. 効果量 — $-2.64$ min⁻¹。集団の平均心拍数は基準値 baseline / reference value 基準値（baseline / reference value） baseline / reference value（基準値） より低い
2. 臨床的relevance — 閾値 2 min⁻¹ を超える。relevant
3. 信頼区間confidence interval信頼区間（confidence interval）confidence interval（信頼区間） — $\mu$ の 95% CI が 80 を含まない → H0 を棄却
4. p値 — $< 2.2 \times 10^{-16}$。有意

⚠️ 手順 3 と 4 は必ず同じ結論 conclusion 結論（conclusion） conclusion（結論） になる。信頼区間confidence interval 信頼区間（confidence interval）confidence interval（信頼区間） が H0 の値を含まないことと $p < \alpha$ は同値だからである。別々の証拠ではなく、同じ事実の2つの表示である。

p値が $10^{-16}$ 台なのは効果が巨大だからではなく、$n = 3259$ が大きいからである。もし relevance の閾値を 2 min⁻¹ ではなく 5 min⁻¹ に置いていたら、同じ結果は「有意だが臨床的に無意味」になっていた。 有意性と relevance が独立であることは、この1例で完全に見て取れる。

from scipy import stats
import statsmodels.stats.api as sms
stats.ttest_1samp(hr, popmean=80, nan_policy="omit")     # t = -12.076, p < 2.2e-16
sms.DescrStatsW(hr.dropna()).tconfint_mean()             # 平均μの95%信頼区間

対応なし（独立2標本）t検定 — Welch検定

問いの立て方

問い：女性（$\mu_f$）と男性（$\mu_m$）で HDL コレステロールの平均値は異なるか。

検定統計量

2群が独立なので、差の分散は2群の分散の和になる。

これが Welch 検定である。分母を「共通の分散」に置き換えて $\sqrt{s_p^2(1/n_1 + 1/n_2)}$ とするのが古典的な Student の2標本t検定 t-test t検定（t-test） t-test（t検定） だが、そちらは両群の分散が等しいことを前提にする。

既定で Welch を使う — 分散の事前検定をしない

⚠️ 「まず F検定F-test F検定（F-test）F-test（F検定） で分散が等しいか調べ、その結果で Student と Welch を使い分ける」という2段階の手続きをしない。 前段の検定自体が多重性 multiplicity 多重性（multiplicity） multiplicity（多重性） を生み、第1種の過誤type I error 第1種の過誤（type I error）type I error（第1種の過誤） の実際の値が名目の $\alpha$ からずれる。分散が等しい場合でも Welch の検出力の損失はごくわずかなので、最初から Welch を既定にするのが正しい¹。講義が「分散が分からないなら検定するな（多重性multiplicity多重性（multiplicity）multiplicity（多重性））。Welch を使え」と述べているのは、この論点そのものである。

💡 分散そのものを比較したい（＝ばらつきの違いが研究の関心である）ときは F検定F-test F検定（F-test）F-test（F検定） を使う。ただし F検定F-test F検定（F-test）F-test（F検定） は正規性に非常に敏感で、標本サイズsample size 標本サイズ（sample size）sample size（標本サイズ） が大きくてもその弱点は救われない。t検定t-test t検定（t-test）t-test（t検定） と違い、中心極限定理central limit theorem 中心極限定理（central limit theorem）central limit theorem（中心極限定理） は助けにならない。

適用条件

1. 2つの独立した群の比較 — 各観測単位はどちらか一方の群にしか属さない
2. 両群で同じ数値変数 variables変数（variables） variables（変数）を測っている
3. 群内・群間ともに独立な無作為観測
4. 両群で平均の分布が正規 — (a) 各群 $n \ge 30$ または (b) 小標本ではデータが正規

⚠️ Welch検定では分散の等質性は条件に含まれない。

2群の平均の信頼区間を並べて見るときの罠

各群の平均と 95% CI を並べたグラフ（plot of means）は直感的だが、差の信頼区間 confidence interval 信頼区間（confidence interval） confidence interval（信頼区間） とは別物である。

💡 理由は単純である。差の標準誤差は $\sqrt{SE_1^2 + SE_2^2}$ であり、$SE_1 + SE_2$ より小さい（三角不等式）。個々の CI の重なりは $SE_1 + SE_2$ を基準にしているので、差そのものの基準より甘い判定になる。判断は必ず「差の信頼区間 confidence interval信頼区間（confidence interval） confidence interval（信頼区間）」で行う。

結果を読む

💡 出力を読む順序

1. 効果量 — 9.93 mg/dL。女性のほうが高い（どちらからどちらを引いたかを出力の見出しで確認する）
2. 臨床的relevance — 閾値 5 mg/dL を超える。relevant
3. 信頼区間confidence interval信頼区間（confidence interval）confidence interval（信頼区間） — 差の CI が 0 を含まない → H0 を棄却
4. p値 — 有意

from scipy import stats
import statsmodels.stats.api as sms
stats.ttest_ind(hdl_f, hdl_m, equal_var=False)      # equal_var=False が Welch検定
sms.CompareMeans.from_data(hdl_f, hdl_m).tconfint_diff(usevar="unequal")   # 差の95% CI

対応あり（paired）t検定

問いの立て方

問い：同一患者の血糖値は第1期（$\mu_1$）と第3期（$\mu_3$）で変化したか。

対応ありt検定は「差」に対する1標本t検定である

個体 $i$ について差 $d_i = x_{3i} - x_{1i}$ を作れば、検定統計量test statistic 検定統計量（test statistic）test statistic（検定統計量） は1標本t検定 one-sample t-test 1標本t検定（one-sample t-test） one-sample t-test（1標本t検定） とまったく同じ形になる。

3つのt検定 t-test t検定（t-test） t-test（t検定） を並べると、同じ分数であることが見える。

⭐ 対応ありと1標本は文字が違うだけで同じ式である。だから「対応ありt検定paired t-test 対応ありt検定（paired t-test）paired t-test（対応ありt検定） の自由度 degrees of freedom 自由度（degrees of freedom） degrees of freedom（自由度） は $n-1$（$n$ は対の数、観測値の総数 $2n$ ではない）」が自然に出てくる。

💡 「平均の差 = 差の平均」 は算術的に常に成り立つ（欠損がない限り）。しかし標準誤差は同じにならない。対応ありでは個体間のばらつきが差をとる時点で相殺 cancellation 相殺（cancellation） cancellation（相殺） されるため $s_d$ が小さくなり、そのぶん検出力が高い。これが「対応のある設計はふつう検出力が高い」の中身である。

long 形式と wide 形式

反復測定データの保存形式には2通りある。

flowchart TD
  A["long 形式<br>RANDID / PERIOD / GLUCOSE<br>（臨床DBの標準形）"] --> B["reshape<br>個体IDをキーに横に展開"]
  B --> C["wide 形式<br>RANDID / GLUCOSE.p1 / GLUCOSE.p3"]
  C --> D["差の<span class='jp-term jp-term-diagram' title='variables'>変数</span>を作る<br>GLUCOSE.diff = p3 − p1"]
  D --> E["差の記述統計<br>ヒストグラム・箱ひげ図・平均・SE"]
  E --> F["差に対する 1標本 <span class='jp-term jp-term-diagram' title='t-test'>t検定</span><br>= <span class='jp-term jp-term-diagram' title='paired t-test'>対応ありt検定</span>"]

対応あり／対応なしの選択 — 試験の定番の罠

⭐ どちらを使うかを決めるのは「データがどう並んでいるか」ではなく「どう集められたか（研究デザインstudy design研究デザイン（study design）study design（研究デザイン））」である。

⚠️ long 形式のデータは「2つの群」に見える。 「PERIOD」という列で群分けできてしまうので、そのまま対応なしt検定 unpaired t-test 対応なしt検定（unpaired t-test） unpaired t-test（対応なしt検定） に流し込めてしまう。しかしそれは個体の対応情報を捨てる行為であり、次の2つの害を同時に生む。

1. 検出力を失う — 個体間のばらつきが分母に残り続けるので SE が大きくなる
2. 独立性の仮定を破る — 同一個体の2測定は独立ではないので、そもそも検定の前提が成り立たない

💡 実習の血糖値の例では、p値は 0.02683 と 0.05 をわずかに下回るだけである。対応を捨てていれば、この差は有意にならなかった可能性が高い。 検定の選択そのものが結論 conclusion 結論（conclusion） conclusion（結論） を変える典型例である。

逆に、独立な2群を無理に「対応あり」として扱うこともできない。対応ありt検定paired t-test 対応ありt検定（paired t-test）paired t-test（対応ありt検定） は $n_1 = n_2$ かつ行の並び順が個体の対応を表していることを前提にするので、独立なデータに使えばまったく無意味な結果が出る。

欠損値の扱い

long から wide へ変換するとき、片方の期の測定が欠けている個体は行ごと落ちる。実習の例では 114 個体のうち 30 個体（26%）が除外され、解析対象は 84 対になった。

⚠️ これは「完全ケース解析complete-case analysis完全ケース解析（complete-case analysis）complete-case analysis（完全ケース解析）」であり、欠損が無作為でなければ結果に偏りが生じる。血糖値の追跡が途切れた理由が、転院・死亡・重症化と関係していれば、残った 84 例は元の集団を代表しない。解析対象が何例で、なぜ何例が落ちたのかを必ず報告する（→ 調査法survey methodology 調査法（survey methodology）survey methodology（調査法） とデータ表の作り方）。

適用条件

1. 数値尺度で測定されたデータ対
2. データ対の単純無作為抽出 simple random sampling単純無作為抽出（simple random sampling） simple random sampling（単純無作為抽出） — 対の中の2つの値は従属だが、対どうしは互いに独立であること
3. 差の平均の分布が正規 — (a) 対が 30 以上、または (b) 小標本では差が正規（QQプロットで確認）

💡 条件 3 で正規性を要求されているのは差であって、元の測定値ではない。前後どちらの分布が歪んでいても、差が対称なら問題は小さい。

⚠️ 完全な独立（対応なし）と対ごとの従属（対応あり）の中間にあたる状況が実務には多い。たとえば治療群と対照群が8つの施設に分かれていれば、同じ施設の患者は似た条件にさらされている。この種の依存構造の扱い（混合効果モデル、クラスターcluster クラスター（cluster）cluster（クラスター） 補正）はこの科目の範囲外だが、「独立か対応ありかの二択ではない」ことは知っておく。

結果を読む

💡 出力を読む順序

1. 効果量 — 差の平均。ソフトウェアは「第1変数 variables変数（variables） variables（変数） − 第2変数 variables変数（variables） variables（変数）」で計算するので、符号が期待と逆になることがある（大きさは同じなので結論 conclusion 結論（conclusion） conclusion（結論） は変わらない）
2. 臨床的relevance — 閾値 5 mg/dL を超える。relevant
3. 信頼区間confidence interval信頼区間（confidence interval）confidence interval（信頼区間） — 差の CI が 0 を含まない → H0 を棄却
4. p値 — 0.02683 < 0.05。有意

⚠️ p = 0.027 は $\alpha = 0.05$ のすぐ内側である。他の3つのt検定 t-test t検定（t-test） t-test（t検定） （$p < 2.2 \times 10^{-16}$）と比べて「弱い証拠」なのは確かだが、p値どうしを効果の大きさとして比べてはならない²。ここで見るべきは、差の信頼区間 confidence interval 信頼区間（confidence interval） confidence interval（信頼区間） が 0 のすぐ近くまで伸びていること（＝効果の下限がほぼ 0 でありうること）である。

from scipy import stats
import statsmodels.stats.api as sms
wide = long.pivot(index="RANDID", columns="PERIOD", values="GLUCOSE").dropna()   # long → wide
d = wide[3] - wide[1]                                    # 差の変数を作る
stats.ttest_rel(wide[3], wide[1])                        # 対応ありt検定 → p = 0.0268
sms.DescrStatsW(d).tconfint_mean()                       # 差の95%信頼区間
stats.ttest_1samp(d, popmean=0)                          # ⭐ 上とまったく同じ結果になる

どの検定を使うか

flowchart TD
  A["数値<span class='jp-term jp-term-diagram' title='variables'>変数</span>の位置（平均）を比べたい"] --> B{"比較の相手は?"}
  B -->|"既知の<span class='jp-term jp-term-diagram' title='baseline / reference value'>基準値</span> μ0"| C["1標本 <span class='jp-term jp-term-diagram' title='t-test'>t検定</span><br>df = n − 1"]
  B -->|"もう1つの群"| D{"同じ個体を<br>2回測っているか?<br>（意味のある対か?）"}
  D -->|"はい（前後・双子・左右）"| E["対応あり <span class='jp-term jp-term-diagram' title='t-test'>t検定</span><br>= 差に対する<span class='jp-term jp-term-diagram' title='one-sample t-test'>1標本t検定</span><br>df = 対の数 − 1"]
  D -->|"いいえ（別々の個体）"| F["Welch検定<br>⚠️ 分散の事前検定はしない"]
  C --> G["⭐ 効果量 → relevance → <span class='jp-term jp-term-diagram' title='confidence interval'>信頼区間</span> → p値 の順に読む"]
  E --> G
  F --> G

💡 t検定t-test t検定（t-test）t-test（t検定） は「中央値・分位点など他の位置パラメータ parameter パラメータ（parameter） parameter（パラメータ） の比較」にも流用が利くと講義は述べているが、厳密に扱いたいなら順位にもとづくノンパラメトリック検定 nonparametric testノンパラメトリック検定（nonparametric test） nonparametric test（ノンパラメトリック検定）（Mann–Whitney の U検定、Wilcoxon の符号順位検定 signed-rank test符号順位検定（signed-rank test） signed-rank test（符号順位検定））を使う。パラメトリック検定parametric test パラメトリック検定（parametric test）parametric test（パラメトリック検定） は特定の分布族を前提にし、ノンパラメトリック検定nonparametric test ノンパラメトリック検定（nonparametric test）nonparametric test（ノンパラメトリック検定） はより広い分布族で成り立つ代わりに検出力をいくらか失う。

非有意だったときに書いてよいこと

⭐ t検定t-test t検定（t-test）t-test（t検定） が有意でなかったとき、「2群に差はなかった」と書いてはならない³。書けるのは次のどちらかであり、差の信頼区間 confidence interval 信頼区間（confidence interval） confidence interval（信頼区間） の幅がそれを決める。

まとめ

• t検定t-test t検定（t-test）t-test（t検定） はすべて 効果量 ÷ その効果量の標準誤差という1本の分数である。$t = (\bar{x}-\mu_0)/(s/\sqrt{n})$。
• t分布Student t-distribution t分布（Student t-distribution）Student t-distribution（t分布） は $\sigma$ を $s$ で代用したことから生じ、自由度degrees of freedom自由度（degrees of freedom）degrees of freedom（自由度） $f = n-1$ ごとに異なる。小標本ほど裾が厚く、閾値が遠い。
• t値は効果の大きさではない。 $n$ を増やせば同じ差でも t値は大きくなる。
• 条件で要求されるのは平均の分布の正規性であって、データの正規性ではない。$n \ge 30$ なら中心極限定理 central limit theorem 中心極限定理（central limit theorem） central limit theorem（中心極限定理） で足りる。
• 正規性も分散の等質性も、前段の仮説検定で確かめない。 多重性multiplicity 多重性（multiplicity）multiplicity（多重性） を生み第1種の過誤 type I error 第1種の過誤（type I error） type I error（第1種の過誤） を歪める。既定で Welch検定を使う。
• 2群の平均の CI が重ならなければ有意だが、重なっても非有意とは言えない。判断は必ず差の信頼区間 confidence interval信頼区間（confidence interval） confidence interval（信頼区間）で行う。
• 対応ありt検定paired t-test対応ありt検定（paired t-test）paired t-test（対応ありt検定） = 差という1変数 variables 変数（variables） variables（変数） に対する1標本t検定 one-sample t-test1標本t検定（one-sample t-test） one-sample t-test（1標本t検定）。 自由度degrees of freedom 自由度（degrees of freedom）degrees of freedom（自由度） は「対の数 − 1」。「平均の差 = 差の平均」だが、SE は個体間変動が相殺 cancellation 相殺（cancellation） cancellation（相殺） されるぶん小さく、検出力が高い。
• long 形式のデータは対応ありを対応なしに見せかける。 検定の選択を決めるのはデータの並びではなく研究デザインstudy design研究デザイン（study design）study design（研究デザイン）である。対応を捨てると検出力を失い、独立性の仮定も破る。
• long → wide の変換で欠損のある対は落ちる（実習では 114 対中 30 対）。何例が、なぜ落ちたのかを報告する。
• 読む順序は 効果量 → 臨床的relevance → 信頼区間confidence interval信頼区間（confidence interval）confidence interval（信頼区間） → p値。信頼区間confidence interval 信頼区間（confidence interval）confidence interval（信頼区間） と p値は同じ事実の別表示であり、必ず一致する。
• 非有意な結果を「差がない」と書かない。差の信頼区間 confidence interval 信頼区間（confidence interval） confidence interval（信頼区間） の幅が、何を否定できたかを決める。