相関と単回帰

🧠 全体像：相関は「対称」、回帰は「非対称」。相関係数は「xとyがどれくらい一緒に動くか」を1つの数で表すだけで、どちらが原因かを一切言わない。回帰は「yはxで説明される」という向きを人間があらかじめ決めてから当てはめる。だから回帰の出力で最初に見るべきは、傾き（slope）とその単位 ——「xが1単位増えると、yは平均して何単位変わるか」であって、p値でもR²でもない。

2変数の関係にはどんな型があるか

散布図を描いた瞬間に、まず関係の「形」を分類する。

さらに 関数的関係（xの値がyの値を完全に決める）と 統計的関係（xはyを部分的にしか決めず、残りは偶然 chance 偶然（chance） chance（偶然） による）を区別する。医学データで扱うのはほぼ常に後者である。

⚠️ 相関係数を計算する前に、必ず散布図を描く。 相関係数は「線形の」強さしか測らないので、きれいなU字型の関係でもr ≈ 0 になる。「相関がない」ことは「関連がない」ことを意味しない。

相関係数

• Pearson の積率相関係数 r — 線形の関係を前提に、その強さを測る
• Spearman の順位相関係数 ρ — 単調monotone単調（monotone）monotone（単調）でありさえすればよい（線形性を仮定しない）。値を順位に置き換えてから Pearson を計算するのと同じ。外れ値に強いが、値そのものの実務的な意味づけは難しい

Pearson の r は、x と y のそれぞれが平均からどれだけずれているかを掛け合わせ、両者のばらつきで正規化したものである。

分母がばらつきの大きさを打ち消すので、r は単位を持たない。分子は x と y のずれが同じ向きなら正、逆向きなら負に効く。

いずれも −1 から +1 の実数をとる。

0から離れるほど強い。符号は向き、絶対値は強さである。

💡 相関は対称である。 $r(x, y) = r(y, x)$。収縮期血圧systolic blood pressure, SBP 収縮期血圧（systolic blood pressure, SBP）systolic blood pressure, SBP（収縮期血圧） と拡張期血圧 diastolic BP 拡張期血圧（diastolic BP） diastolic BP（拡張期血圧） の相関を計算しても、「どちらがどちらに依存するか」は式のどこにも現れない。この対称性こそが、相関から因果を読み取れない構造的な理由である。

r と r² を混同しない

⭐ ここは試験でも実務でも最も間違えやすい。

2つは名前が似ているだけで、片方がもう片方の二乗である。

⚠️ r = 0.7 は「変動の70%」ではない。 $r = 0.7 \Rightarrow r^2 = 0.49$ なので、説明されるのは分散の 49% である。r は「割合」の尺度ではないので、r = 0.4 が r = 0.2 の「2倍強い」わけでもない（$0.4^2 = 0.16$ 対 $0.2^2 = 0.04$ で、分散の割合では4倍になる）。

「yの変動の43%が xの変動によるものである」と説明されることがあるが、正確には「yの分散のうち43%が、xとの線形回帰で数値的に説明できる」である。「〜による」は因果の言葉であり、相関係数はそれを支えない。相関は対称なので、同じ43%は逆向き（yでxを説明する）にもそのまま成り立ってしまう——因果の主張なら、この対称性はありえない。

例：Framingham 研究の一期分（n = 3263）で拡張期血圧 diastolic BP 拡張期血圧（diastolic BP） diastolic BP（拡張期血圧） と収縮期血圧 systolic blood pressure, SBP 収縮期血圧（systolic blood pressure, SBP） systolic blood pressure, SBP（収縮期血圧） の相関を取ると $r \approx 0.66$、$r^2 \approx 0.43$。血圧が「一緒に動く」ことは強く示されるが、どちらが先かは何も言っていない。

相関係数の有意性検定

H0: 母集団の相関係数 $\rho = 0$（線形相関なし）、H1: $\rho \neq 0$。検定統計量は自由度 degrees of freedom自由度（degrees of freedom） degrees of freedom（自由度） $n-2$ の t 分布に従う。

⚠️ 「p < 0.05 なので、標本平均と基準値 baseline / reference value 基準値（baseline / reference value） baseline / reference value（基準値） の差は有意である」と書かれることがあるが、相関の検定で比べているのは平均と基準値 baseline / reference value基準値（baseline / reference value） baseline / reference value（基準値）ではなく、標本のrと0である。帰無仮説null hypothesis 帰無仮説（null hypothesis）null hypothesis（帰無仮説） は「母相関が0」であって、平均に関する主張は一切していない。

n が大きければ、実務的に無意味な相関でも有意になる。 上の式で $n$ が大きくなると $t$ は $\sqrt{n}$ に比例して大きくなるので、$n = 3263$ なら $r = 0.04$（分散の0.16%しか説明しない）でも $t \approx 2.3$、p < 0.05 に達する。だから実習では有意性より先に $\lvert r \rvert > 0.4$ なら実務的に意味がある のように relevance の閾値をあらかじめ決めてから検定する。この順序を崩さない¹。

相関は因果ではない ——「では何が起きているのか」

「相関≠因果」は標語としては正しいが、それだけでは使えない。xとyに関連が観察されたとき、因果以外にどんな説明がありうるかを数え上げられることが重要である。

flowchart TD
  A["xとyに関連が観察された"] --> B["① x → y（本当の因果）"]
  A --> C["② y → x（逆因果）<br>例: 運動不足が肥満か、肥満で動けないのか"]
  A --> D["③ <span class='jp-term jp-term-diagram' title='confounding'>交絡</span>：第3の因子Zが両方を動かす<br>例: 身長と睡眠障害 ← 性別"]
  A --> E["④ <span class='jp-term jp-term-diagram' title='selection bias'>選択バイアス</span>：観察された集団の作り方が関連を生む<br>例: 入院患者だけを見た（Berkson <span class='jp-term jp-term-diagram' title='bias'>バイアス</span>）"]
  A --> F["⑤ <span class='jp-term jp-term-diagram' title='information bias'>情報バイアス</span>：測定・<span class='jp-term jp-term-diagram' title='retrieval'>想起</span>の誤り"]
  A --> G["⑥ <span class='jp-term jp-term-diagram' title='chance'>偶然</span>：多数の組合せを試せばいくつかは相関する"]

⚠️ 統計だけで因果を証明することはできない。 因果を主張するには、研究デザインstudy design 研究デザイン（study design）study design（研究デザイン） （無作為化randomized無作為化（randomized）randomized（無作為化）・時間的前後関係）と領域知識が必要になる。交絡confounding 交絡（confounding）confounding（交絡） の扱いは 交絡confounding 交絡（confounding）confounding（交絡） と重回帰 で扱う。

Hill の視点（1965）

Hill は関連から因果を論じる際に検討すべき9項目を挙げた²。

⚠️ これを「9項目中◯項目満たせば因果」というチェックリストとして使ってはならない。 Hill 自身が原論文でそう戒めている²。満たすことが必須なのは「時間性」だけであり、「特異性」と「類推」は現代の疫学では特に弱い根拠とされる（1つの原因が1つの結果しか生まないという前提は喫煙のように成り立たない）。後に「可逆性」（原因を除けば結果も消える）を加える立場もある。

単回帰

回帰では、y（従属変数 variables変数（variables） variables（変数）・アウトカムall-or-none outcomesアウトカム（all-or-none outcomes）all-or-none outcomes（アウトカム）・応答）が x（独立変数 variables変数（variables） variables（変数）・説明変数 variables変数（variables） variables（変数）・予測因子）に依存するという向きを臨床的な理由から先に決めてから当てはめる。統計は向きを決めてくれない。

• $\beta_0$ … 切片。X = 0 のときの Y の期待値
• $\beta_1$ … 傾き。Xが1単位増えたときの Y の平均変化量
• $\varepsilon$ … 残差（誤差項）。当てはめた直線と実測点との垂直方向の距離

$\beta_0 + \beta_1 X$ が x で決まる部分、$\varepsilon$ が偶然 chance 偶然（chance） chance（偶然） による部分にあたる。

OLS（最小二乗法）

残差の二乗和が最小になる直線を選ぶ。

💡 なぜ絶対値の和ではなく二乗和か。 ① 二乗和は微分可能で解が閉じた式で一意に求まる（絶対値は折れ点で微分できず、解が一意にならないことがある）、② 誤差が正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） するという仮定のもとでは二乗和の最小化が最尤推定と一致する。代償として、二乗するぶん外れ値の影響が強く出る。

💡 垂直距離を最小化するから、x と y を入れ替えると別の直線になる。 「SYSBP を DIABP で予測する直線」と「DIABP を SYSBP で予測する直線」は一致しない（前者は縦の距離、後者は横の距離を最小化しているため）。相関が対称なのに回帰が非対称なのは、ここに現れる。

適用条件

なお、x は「誤差なく測られた設定値 set point設定値（set point） set point（設定値）」として扱われる（相関では x も y も確率変数 variables 変数（variables） variables（変数） だが、回帰では x は必ずしもそうでない）。

回帰の出力をどう読むか

💡 出力を読む順序

1. 傾きの点推定値 point estimate 点推定値（point estimate） point estimate（点推定値） とその単位 — 効果量そのもの。「1単位あたり何単位」
2. 臨床的relevance — その大きさは意味があるか（事前に決めた閾値と比べる）
3. 傾きの95%信頼区間 — 効果の不確実性の幅。区間の端（最弱・最強のシナリオ）も臨床的に検討する
4. p値 — 最後。有意でも臨床的に無意味な傾きはあるし、有意でなくても「傾きが0」の証明にはならない

補助的に見るもの：

• 切片 — X = 0 が現実にありえない値（身長0 cm、出生体重0 g）なら、切片そのものに意味はない。切片のp値はほとんどの場合どうでもよい
• R² — 当てはまりの目安。R² が高いことは、モデルが正しいことも因果があることも意味しない（Anscombe の四重奏がその反例）
• 残差の診断プロット — 条件が満たされているか

具体例

Framingham のデータ（n = 3263）で SYSBP を DIABP で回帰すると

読み方：拡張期血圧 diastolic BP 拡張期血圧（diastolic BP） diastolic BP（拡張期血圧） が 1 mmHg 高いごとに、収縮期血圧systolic blood pressure, SBP 収縮期血圧（systolic blood pressure, SBP）systolic blood pressure, SBP（収縮期血圧） は平均して 1.33 mmHg 高い。事前に「$\lvert \beta_1 \rvert > 0.5$（単位は mmHg/mmHg）なら実務的に意味がある」と決めていたので、1.33 は relevant。$R^2 = 0.43$。

⚠️ 傾き「1.33」は 単位を伴って初めて意味を持つ。同じデータで血圧を kPa で測れば傾きの数値は変わる。単位を書かない傾きは読めない。

Python で確認する

import statsmodels.formula.api as smf

model = smf.ols("SYSBP ~ DIABP", data=df).fit()
print(model.params)        # 切片と傾きの点推定値
print(model.conf_int())    # それぞれの95%信頼区間
print(model.rsquared)      # R²

相関係数だけなら以下で足りる。

from scipy import stats

r, p = stats.pearsonr(df["DIABP"], df["SYSBP"])   # 線形を仮定
rho, p_rho = stats.spearmanr(df["DIABP"], df["SYSBP"])  # 単調でよい
print(r, r**2, rho)

💡 単回帰では、傾きの検定と相関係数の検定は数学的に等価である（同じ t 値、同じ p 値になる）。「傾き = 0」と「ρ = 0」は同じ主張なので当然だが、解釈は等価ではない——傾きには単位があり、相関係数にはない。

信頼区間と予測区間を混同しない

⚠️ 個々の患者について「この人の値はこの範囲」と言いたいなら、必要なのは予測区間である。回帰直線の信頼区間 confidence interval 信頼区間（confidence interval） confidence interval（信頼区間） （グラフで直線に沿った細い帯）をそれと取り違えると、不確実性を大幅に過小評価する。予測区間は残差のばらつきを含むぶん必ず広い。

💡 信頼区間confidence interval 信頼区間（confidence interval）confidence interval（信頼区間） の帯が「傾き0の直線」を含まないことは、傾きが有意であることと対応する。逆に帯の中に水平な直線が引けてしまえば有意ではない。グラフだけで有意性が読める。

外挿してはならない

⚠️ 回帰式regression equation 回帰式（regression equation）regression equation（回帰式） は、データが観測された x の範囲でのみ意味を持つ。 出生体重 2000–4500 g のデータから得た直線に出生体重 500 g を代入して成人体重を予測してはならない。範囲の外で関係が線形である保証はどこにもなく、直線はそれを検証していない。

同様に、線形回帰は LOESS のような平滑化曲線と重なる範囲でのみ信用できるというのが実務的な目安である。LOESS は局所的な重み付き回帰をつなげた非母数的な曲線で、真の形を仮定せずにデータの流れを描く。直線と平滑化曲線が離れていく領域では、線形性の仮定が破れている。

Anscombe の四重奏 —「パラメータだけを見てはいけない」

Anscombe は、標本サイズ・xの平均・yの平均・xのSD・yのSD・r・r²・回帰直線の傾きと切片がすべて一致するのに、散布図がまったく異なる4組のデータを作った³。

⭐ 要約統計量は同じでも、正しい解析はそれぞれ違う。 だから「まず散布図を描く」が回帰の第一手順になる。

まとめ

• 相関は対称で単位を持たず、回帰は非対称で傾きに単位がある。だから因果的な問いには回帰の枠組みを使うが、それでも因果は統計から出てこない。
• r は線形関係の強さ、r² は説明される分散の割合。r = 0.7 は「70%」ではなく「49%」。
• Pearson の r は線形性を仮定する。非線形non-linear非線形（non-linear）non-linear（非線形）・外れ値には Spearman の ρ、そして何より散布図を使う。
• 関連が観察されたときの代替説明は、逆因果・交絡confounding交絡（confounding）confounding（交絡）・選択バイアスselection bias選択バイアス（selection bias）selection bias（選択バイアス）・情報バイアスinformation bias情報バイアス（information bias）information bias（情報バイアス）・偶然chance偶然（chance）chance（偶然）。Hill の視点は判断の材料であってチェックリストではない。
• 回帰の出力は 傾きと単位 → 臨床的relevance → 信頼区間confidence interval信頼区間（confidence interval）confidence interval（信頼区間） → p値 の順に読む。R² と切片は補助。
• 回帰直線の信頼区間 confidence interval 信頼区間（confidence interval） confidence interval（信頼区間） と予測区間は別物。個人の予測には予測区間。
• 観測された x の範囲の外へ外挿しない。 Anscombe の四重奏が示すとおり、数値が同じでもデータの姿は同じではない。