Boltzmann分布

🧠 熱平衡thermal equilibrium 熱平衡（thermal equilibrium）thermal equilibrium（熱平衡） では、高いエネルギー状態 energy status エネルギー状態（energy status） energy status（エネルギー状態） ほど占有確率 occupation probability 占有確率（occupation probability） occupation probability（占有確率） が指数関数的 exponentially 指数関数的（exponentially） exponentially（指数関数的） に低くなる。

エネルギー差と占有数

状態のエネルギーと縮退度 degeneracy 縮退度（degeneracy） degeneracy（縮退度） が占有数 population 占有数（population） population（占有数） を決め、$k_BT$がエネルギー差に対する熱的尺度になる。

flowchart TD
  A["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='energy status'>エネルギー状態</span>を用意"]
  B["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='thermal fluctuation'>熱揺らぎ</span>（thermal fluctuation）で遷移"]
  C["平衡<span class='jp-term jp-term-diagram' title='population'>占有数</span>が<span class='jp-term jp-term-diagram' title='Boltzmann factor'>ボルツマン因子</span>へ収束"]
  A --> B
  B --> C

Boltzmann因子

$Z$は分配関数 partition function分配関数（partition function） partition function（分配関数）、$g_i$は縮退度 degeneracy縮退度（degeneracy） degeneracy（縮退度）。

縮退度と温度の効果

速度分布はBoltzmann因子を並進運動エネルギー kinetic energy 運動エネルギー（kinetic energy） kinetic energy（運動エネルギー） へ適用した例である。Boltzmann因子は個々のエネルギー状態 energy status エネルギー状態（energy status） energy status（エネルギー状態） の占有確率 occupation probability 占有確率（occupation probability） occupation probability（占有確率） を与え、許される配置全体を数えるミクロ状態microstate ミクロ状態（microstate）microstate（ミクロ状態） とマクロ状態 macrostateマクロ状態（macrostate） macrostate（マクロ状態）へ統計的記述を拡張できる。

• $ΔE≫k_BT$なら高エネルギー状態 energy status エネルギー状態（energy status） energy status（エネルギー状態） はほぼ空。
• 温度上昇で分布は平坦化。
• 占有数比population ratio 占有数比（population ratio）population ratio（占有数比） はエネルギー原点 energy zero エネルギー原点（energy zero） energy zero（エネルギー原点） の選び方に依存しない。

生体・医学での解釈

イオン分布、タンパク質の立体配座 conformation立体配座（conformation） conformation（立体配座）、反応速度reaction rate 反応速度（reaction rate）reaction rate（反応速度） を統一的に扱う。Boltzmann分布は熱力学的エントロピー thermodynamic entropy 熱力学的エントロピー（thermodynamic entropy） thermodynamic entropy（熱力学的エントロピー） との関係をもつ統計力学の基礎であり、平衡下の速度分布としても実験的に検証されている。¹²

まとめ

• 熱平衡thermal equilibrium 熱平衡（thermal equilibrium）thermal equilibrium（熱平衡） では、高いエネルギー状態 energy status エネルギー状態（energy status） energy status（エネルギー状態） ほど占有確率 occupation probability 占有確率（occupation probability） occupation probability（占有確率） が指数関数的 exponentially 指数関数的（exponentially） exponentially（指数関数的） に低くなる。
• $ΔE≫k_BT$なら高エネルギー状態 energy status エネルギー状態（energy status） energy status（エネルギー状態） はほぼ空。
• イオン分布、タンパク質の立体配座 conformation立体配座（conformation） conformation（立体配座）、反応速度reaction rate 反応速度（reaction rate）reaction rate（反応速度） を統一的に扱う。