Boltzmann分布の応用IV：半導体の電気伝導

🧠 半導体semiconductor 半導体（semiconductor）semiconductor（半導体） の電気伝導率 semiconductor conductivity 電気伝導率（semiconductor conductivity） semiconductor conductivity（電気伝導率） が温度へ強く依存するのは、バンドギャップband gap バンドギャップ（band gap）band gap（バンドギャップ） を越える担体数 carrier population 担体数（carrier population） carrier population（担体数） がBoltzmann因子で増えるためである。

温度で変わる担体数

真性半導体intrinsic semiconductor 真性半導体（intrinsic semiconductor）intrinsic semiconductor（真性半導体） では担体密度 carrier density 担体密度（carrier density） carrier density（担体密度） の指数増加と移動度 mobility 移動度（mobility） mobility（移動度） の温度依存性 biological temperature dependence 温度依存性（biological temperature dependence） biological temperature dependence（温度依存性） が組み合わさる。

flowchart TD
  A["温度上昇"]
  B["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='thermal excitation'>熱励起</span>による担体生成が指数増加"]
  C["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='conductivity'>伝導率</span>上昇"]
  A --> B
  B --> C

電子・正孔密度の導出

非縮退半導体 semiconductor 半導体（semiconductor） semiconductor（半導体） では、伝導帯conduction band 伝導帯（conduction band）conduction band（伝導帯） の電子密度 electron density電子密度（electron density） electron density（電子密度） $n$ と価電子帯 valence band 価電子帯（valence band） valence band（価電子帯） の正孔 hole 正孔（hole） hole（正孔） 密度 $p$ はボルツマン Boltzmann ボルツマン（Boltzmann） Boltzmann（ボルツマン） 近似により

と書ける。$N_C$ と $N_V$ は伝導帯 conduction band 伝導帯（conduction band） conduction band（伝導帯） と価電子帯 valence band 価電子帯（valence band） valence band（価電子帯） の有効状態密度、$E_C$ と $E_V$ はそれぞれのバンド端、$E_F$ はフェルミ準位 Fermi level フェルミ準位（Fermi level） Fermi level（フェルミ準位） である。両式を掛けると $E_F$ が消え、

となる。ここでバンドギャップ band gap バンドギャップ（band gap） band gap（バンドギャップ） は $E_g=E_C-E_V$ である。真性半導体intrinsic semiconductor 真性半導体（intrinsic semiconductor）intrinsic semiconductor（真性半導体） では電子と正孔 hole 正孔（hole） hole（正孔） が対で生成されるため $n=p=n_i$ であり、

を得る。指数に $E_g/2$ が現れるのは、積 $np=n_i^2$ の平方根を取るためである。

担体密度から伝導率へ

電場electric field電場（electric field）electric field（電場） $E$ 中で、電子と正孔 hole 正孔（hole） hole（正孔） のドリフト電流密度を足すと、

となる。オームOhm オーム（Ohm）Ohm（オーム） の法則 $J=\sigma E$ と比較すれば、一般の半導体 semiconductor 半導体（semiconductor） semiconductor（半導体） の伝導率 conductivity 伝導率（conductivity） conductivity（伝導率） は

である。真性半導体intrinsic semiconductor 真性半導体（intrinsic semiconductor）intrinsic semiconductor（真性半導体） では $n=p=n_i$ なので、

となる。$N_C$、$N_V$、移動度mobility 移動度（mobility）mobility（移動度） にも温度依存性 biological temperature dependence 温度依存性（biological temperature dependence） biological temperature dependence（温度依存性） があるため、$\sigma_0(T)$ は厳密には定数ではない。ただし指数項が支配的で、前因子の変化を無視 neglect 無視（neglect） neglect（無視） できる温度範囲では、

である。したがって $\ln\sigma_i$ 対 $1/T$ の傾き $m$ から、

としてバンドギャップ band gap バンドギャップ（band gap） band gap（バンドギャップ） を推定できる。抵抗率 $\rho=1/\sigma$ は逆に $\rho_i\simeq\rho_0\exp(E_g/2k_BT)$ と表される。

温度領域ごとの支配因子

伝導率conductivity 伝導率（conductivity）conductivity（伝導率） は担体密度 carrier density 担体密度（carrier density） carrier density（担体密度） と移動度 mobility 移動度（mobility） mobility（移動度） の積で決まり、担体密度carrier density 担体密度（carrier density）carrier density（担体密度） の指数関数的 exponentially 指数関数的（exponentially） exponentially（指数関数的） な温度依存性 biological temperature dependence 温度依存性（biological temperature dependence） biological temperature dependence（温度依存性） はBoltzmann分布をバンドギャップ band gap バンドギャップ（band gap） band gap（バンドギャップ） へ適用して得る。ダイオードdiode ダイオード（diode）diode（ダイオード） 電流も同じ熱電圧$k_BT/q$を含む。

• 金属とは温度係数の符号が異なりやすい。
• 不純物半導体doped semiconductor 不純物半導体（doped semiconductor）doped semiconductor（不純物半導体） では低温凍結領域 freeze-out region低温凍結領域（freeze-out region） freeze-out region（低温凍結領域）、中間外因性領域extrinsic region中間外因性領域（extrinsic region）extrinsic region（中間外因性領域）、高温真性 true 真性（true） true（真性） 領域。
• 移動度mobility 移動度（mobility）mobility（移動度） は散乱増加で低下しうる。

材料・生体への応用

サーミスタthermistorサーミスタ（thermistor）thermistor（サーミスタ）、温度センサーtemperature sensor温度センサー（temperature sensor）temperature sensor（温度センサー）、半導体semiconductor 半導体（semiconductor）semiconductor（半導体） 線量計に利用。

半導体semiconductor 半導体（semiconductor）semiconductor（半導体） 導電率の温度・電場electric field 電場（electric field）electric field（電場） 依存性は光電変換モデルで考慮され、ドーピングdoping ドーピング（doping）doping（ドーピング） したp-n接合の光電子応答を左右する。¹²

まとめ

• 半導体semiconductor 半導体（semiconductor）semiconductor（半導体） の伝導率 conductivity 伝導率（conductivity） conductivity（伝導率） の強い温度依存性 biological temperature dependence 温度依存性（biological temperature dependence） biological temperature dependence（温度依存性） は、バンドギャップband gap バンドギャップ（band gap）band gap（バンドギャップ） を越える担体数 carrier population 担体数（carrier population） carrier population（担体数） がボルツマン因子 Boltzmann factor ボルツマン因子（Boltzmann factor） Boltzmann factor（ボルツマン因子） で増えるため。
• 金属とは温度係数の符号が異なりやすい。
• サーミスタthermistorサーミスタ（thermistor）thermistor（サーミスタ）、温度センサーtemperature sensor温度センサー（temperature sensor）temperature sensor（温度センサー）、半導体semiconductor 半導体（semiconductor）semiconductor（半導体） 線量計に利用。