周期・非周期信号のFourier theorem

🧠 フーリエ解析Fourier analysis フーリエ解析（Fourier analysis）Fourier analysis（フーリエ解析） は、時間波形を周波数の異なる正弦波 sine wave 正弦波（sine wave） sine wave（正弦波） 成分へ分け、波形に含まれる律動・高調波・雑音・必要帯域を見える形にする。

周期信号のフーリエ級数

周期$T$、基本角周波数fundamental angular frequency基本角周波数（fundamental angular frequency）fundamental angular frequency（基本角周波数）$\omega_0=2\pi/T$の信号は、

と直流成分 DC component直流成分（DC component） DC component（直流成分）・基本波fundamental wave基本波（fundamental wave）fundamental wave（基本波）・整数倍高調波integer harmonics 整数倍高調波（integer harmonics）integer harmonics（整数倍高調波） の和で表せる。滑らかな正弦波 sine wave 正弦波（sine wave） sine wave（正弦波） は一成分だが、急峻steep 急峻（steep）steep（急峻） 部をもつ波形には高い高調波が必要になる。

非周期信号のフーリエ変換

周期を無限に長くした極限では周波数間隔が連続となり、単発パルスや有限時間記録を連続スペクトル continuous spectrum 連続スペクトル（continuous spectrum） continuous spectrum（連続スペクトル） で扱う。実測データの有限長での打ち切りは矩形窓 rectangular window 矩形窓（rectangular window） rectangular window（矩形窓） を掛けることに相当し、スペクトル漏れspectral leakage スペクトル漏れ（spectral leakage）spectral leakage（スペクトル漏れ） を生じる。適切な窓関数 window function 窓関数（window function） window function（窓関数） は漏れを抑えるが、周波数分解能とのトレードオフ trade-off トレードオフ（trade-off） trade-off（トレードオフ） がある。

生体信号での利用

ECG・EEG・EMGの律動と雑音帯域を分離し、フィルターfilterフィルター（filter）filter（フィルター）設計やパワースペクトル解析 power spectrum analysis パワースペクトル解析（power spectrum analysis） power spectrum analysis（パワースペクトル解析） へ使う。ただし固定フーリエ Fourier フーリエ（Fourier） Fourier（フーリエ） スペクトルでは成分がいつ現れたかという時間情報が失われ、非定常・過渡成分の解析には時間周波数法を併用する¹²。

まとめ

• 周期信号は離散的高調波、非周期信号は連続スペクトル continuous spectrum 連続スペクトル（continuous spectrum） continuous spectrum（連続スペクトル） で表す。
• 急な時間変化ほど高周波 high frequency 高周波（high frequency） high frequency（高周波） 成分を必要とする。
• 周波数解析frequency-domain analysis 周波数解析（frequency-domain analysis）frequency-domain analysis（周波数解析） は帯域を示すが、時間局在と有限記録の影響に注意する。