周期・非周期信号のFourier theorem

🧠 フーリエ解析Fourier analysis フーリエ解析（Fourier analysis）Fourier analysis（フーリエ解析） は、時間波形を周波数の異なる正弦波 sine wave 正弦波（sine wave） sine wave（正弦波） 成分へ分け、波形に含まれる律動・高調波・雑音・必要帯域を見える形にする。

周期信号のフーリエ級数

周期$T$、基本角周波数 angular frequency角周波数（angular frequency） angular frequency（角周波数）$\omega_0=2\pi/T$の信号は、

と直流 direct current (DC) 直流（direct current (DC)） direct current (DC)（直流） 成分・基本波・整数倍高調波の和で表せる。滑らかな正弦波 sine wave 正弦波（sine wave） sine wave（正弦波） は一成分だが、急峻steep (dose gradient) 急峻（steep (dose gradient)）steep (dose gradient)（急峻） 部をもつ波形には高い高調波が必要になる。

非周期信号のフーリエ変換

周期を無限に長くした極限では周波数間隔が連続となり、単発パルスや有限時間記録を連続スペクトル continuous spectrum 連続スペクトル（continuous spectrum） continuous spectrum（連続スペクトル） で扱う。実測データの有限長での打ち切りは矩形窓を掛けることに相当し、スペクトル漏れを生じる。適切な窓関数は漏れを抑えるが、周波数分解能とのトレードオフ trade-off トレードオフ（trade-off） trade-off（トレードオフ） がある。

生体信号での利用

ECG・EEG・EMGの律動と雑音帯域を分離し、フィルターbarrierフィルター（barrier）barrier（フィルター）設計やパワースペクトル power spectrum パワースペクトル（power spectrum） power spectrum（パワースペクトル） 解析へ使う。ただし固定フーリエ Fourier フーリエ（Fourier） Fourier（フーリエ） スペクトルでは成分がいつ現れたかという時間情報が失われ、非定常・過渡成分の解析には時間周波数法を併用する¹²。

まとめ

• 周期信号は離散的高調波、非周期信号は連続スペクトル continuous spectrum 連続スペクトル（continuous spectrum） continuous spectrum（連続スペクトル） で表す。
• 急な時間変化ほど高周波 high frequency 高周波（high frequency） high frequency（高周波） 成分を必要とする。
• 周波数解析は帯域を示すが、時間局在と有限記録の影響に注意する。