Shannon–Nyquist theorem

🧠 Shannon–Nyquistの標本化定理 sampling theorem 標本化定理（sampling theorem） sampling theorem（標本化定理） は、帯域制限band-limiting 帯域制限（band-limiting）band-limiting（帯域制限） された信号を通常の一様標本化 sampling 標本化（sampling） sampling（標本化） から再構成するには、最高周波数 high-frequency 高周波数（high-frequency） high-frequency（高周波数） の2倍を超える標本化周波数 sampling frequency 標本化周波数（sampling frequency） sampling frequency（標本化周波数） が必要だと示す。

Nyquist条件

最高周波数 high-frequency 高周波数（high-frequency） high-frequency（高周波数） を$f_{max}$、標本化周波数sampling frequency 標本化周波数（sampling frequency）sampling frequency（標本化周波数） を$f_s$とすると、

が必要である。$f_s/2$をNyquist周波数という。等号ぎりぎりでは位相や実在フィルター filter フィルター（filter） filter（フィルター） の遷移帯域 transition band 遷移帯域（transition band） transition band（遷移帯域） に余裕 reserve 余裕（reserve） reserve（余裕） がないため、実装ではさらに高く設定する。

エイリアシング

Nyquist周波数を超える成分を標本化 sampling 標本化（sampling） sampling（標本化） すると、標本点だけでは区別できない低周波 low frequency 低周波（low frequency） low frequency（低周波） 成分として折り返される。エイリアシングaliasing エイリアシング（aliasing）aliasing（エイリアシング） 後の偽信号はデジタルデータ digital data デジタルデータ（digital data） digital data（デジタルデータ） 内で本物と区別できないため、信号モデルなどの追加情報がなければ後処理だけで一意に元へ戻せない¹。

実用的な測定系

通常の測定系ではアナログ・アンチエイリアシング低域通過フィルターanalog anti-aliasing low-pass filterアンチエイリアシング低域通過フィルター（analog anti-aliasing low-pass filter）analog anti-aliasing low-pass filter（アンチエイリアシング低域通過フィルター）で入力帯域を制限してからA/D変換する²。必要な$f_{max}$は生体信号biological signal 生体信号（biological signal）biological signal（生体信号） の帯域と保存したい波形特徴から決める。

⚠️ 標本化sampling 標本化（sampling）sampling（標本化） 率を上げても、前段増幅器 amplifier 増幅器（amplifier） amplifier（増幅器） やフィルター filter フィルター（filter） filter（フィルター） が失った周波数成分は回復しない。

まとめ

• 帯域制限band-limiting 帯域制限（band-limiting）band-limiting（帯域制限） 信号の再構成には$f_s>2f_{max}$が必要である。
• 条件違反では高周波 high frequency 高周波（high frequency） high frequency（高周波） が偽の低周波 low frequency 低周波（low frequency） low frequency（低周波） へ折り返す。
• 実装ではアナログ・アンチエイリアシングフィルターanti-aliasing filter アンチエイリアシングフィルター（anti-aliasing filter）anti-aliasing filter（アンチエイリアシングフィルター） と標本化 sampling 標本化（sampling） sampling（標本化） 余裕 reserve 余裕（reserve） reserve（余裕） を組み合わせる。