ブラウン運動―ランダムウォーク

🧠 ブラウン運動Brownian motion ブラウン運動（Brownian motion）Brownian motion（ブラウン運動） は微粒子が周囲分子から不規則な衝突を受ける運動である。 単純ランダムウォーク random walk ランダムウォーク（random walk） random walk（ランダムウォーク） では、十分長い時間刻みの各ステップを独立とみなす。

ランダムウォークの統計

各ステップの向きが独立なら平均変位は0でも平均二乗変位は時間に比例して増える。多数回のランダムな衝突を巨視的 macroscopic 巨視的（macroscopic） macroscopic（巨視的） なDでまとめることで、微視的運動と拡散方程式 diffusion equation 拡散方程式（diffusion equation） diffusion equation（拡散方程式） がつながる。

ブラウン運動―ランダムウォークを表す式

自由な通常拡散では、一次元の平均二乗変位が$2Dt$、三次tertiary 三次（tertiary）tertiary（三次） 元では$6Dt$となる¹。不均一環境や束縛 bound (electron) 束縛（bound (electron)） bound (electron)（束縛） があると、ブラウン様軌跡 trajectory 軌跡（trajectory） trajectory（軌跡） でもこの時間比例則から外れうる²。$D$の単位はm²/sである。

衝突から平均二乗変位へ

1次元では⟨x²⟩=2Dtである。

flowchart TD
  A["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='random walk'>ランダムウォーク</span>の統計"] --> B
  B["衝突から平均二乗変位へ"] --> C
  C["1次元では⟨x²⟩=2Dtである"] --> D
  D["自由拡散近似の範囲"]

自由拡散近似の範囲

熱運動thermal motion熱運動（thermal motion）thermal motion（熱運動）をランダムウォーク random walk ランダムウォーク（random walk） random walk（ランダムウォーク） として見ると、平均変位は0でも平均二乗変位は時間とともに増え、1次元では$\langle x^2\rangle=2Dt$となる。この式から得る拡散係数 diffusion coefficient拡散係数（diffusion coefficient） diffusion coefficient（拡散係数）$D$を粒径・粘度・温度へ結びつけるのがアインシュタインEinstein アインシュタイン（Einstein）Einstein（アインシュタイン） –ストークス Stokes ストークス（Stokes） Stokes（ストークス） 方程式である。

微視的な段階の蓄積を巨視的 macroscopic 巨視的（macroscopic） macroscopic（巨視的） な拡散係数 diffusion coefficient 拡散係数（diffusion coefficient） diffusion coefficient（拡散係数） へ結びつける。式は自由な一次元拡散の形であり、次元数、境界、束縛bound (electron)束縛（bound (electron)）bound (electron)（束縛）、異常拡散では係数や時間依存性 time-dependent 時間依存性（time-dependent） time-dependent（時間依存性） が変わる。

まとめ

• ブラウン運動Brownian motion ブラウン運動（Brownian motion）Brownian motion（ブラウン運動） は微粒子が周囲分子から不規則な衝突を受ける運動である。ランダムウォークrandom walk ランダムウォーク（random walk）random walk（ランダムウォーク） では平均変位は0でも平均二乗変位は増える。
• 1次元では⟨x²⟩=2Dtである。
• 微視的な段階の蓄積を巨視的 macroscopic 巨視的（macroscopic） macroscopic（巨視的） な拡散係数 diffusion coefficient 拡散係数（diffusion coefficient） diffusion coefficient（拡散係数） へ結びつける。