ブラウン運動―ランダムウォーク

🧠 ブラウン運動Brownian motion ブラウン運動（Brownian motion）Brownian motion（ブラウン運動） は微粒子が周囲分子から不規則な衝突を受ける運動である。 単純ランダムウォーク random walk ランダムウォーク（random walk） random walk（ランダムウォーク） では、十分長い時間刻みの各ステップを独立とみなす。

ランダムウォークの統計

各ステップの向きが独立なら平均変位は0でも平均二乗変位 mean square displacement 平均二乗変位（mean square displacement） mean square displacement（平均二乗変位） は時間に比例して増える。多数回のランダムな衝突を巨視的 macroscopic 巨視的（macroscopic） macroscopic（巨視的） なDでまとめることで、微視的運動と拡散方程式 diffusion equation 拡散方程式（diffusion equation） diffusion equation（拡散方程式） がつながる。

ブラウン運動―ランダムウォークを表す式

自由な通常拡散では、一次元の平均二乗変位 mean square displacement 平均二乗変位（mean square displacement） mean square displacement（平均二乗変位） が$2Dt$、三次tertiary 三次（tertiary）tertiary（三次） 元では$6Dt$となる¹。不均一環境や束縛 bound (electron) 束縛（bound (electron)） bound (electron)（束縛） があると、ブラウン様軌跡 trajectory 軌跡（trajectory） trajectory（軌跡） でもこの時間比例則 linear time dependence 時間比例則（linear time dependence） linear time dependence（時間比例則） から外れうる²。$D$の単位はm²/sである。

衝突から平均二乗変位へ

1次元では⟨x²⟩=2Dtである。

flowchart TD
  A["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='random walk'>ランダムウォーク</span>の統計"] --> B
  B["衝突から<span class='jp-term jp-term-diagram' title='mean square displacement'>平均二乗変位</span>へ"] --> C
  C["1次元では⟨x²⟩=2Dtである"] --> D
  D["自由拡散近似の範囲"]

自由拡散近似の範囲

熱運動thermal motion熱運動（thermal motion）thermal motion（熱運動）をランダムウォーク random walk ランダムウォーク（random walk） random walk（ランダムウォーク） として見ると、平均変位は0でも平均二乗変位 mean square displacement 平均二乗変位（mean square displacement） mean square displacement（平均二乗変位） は時間とともに増え、1次元では$\langle x^2\rangle=2Dt$となる。この式から得る拡散係数 diffusion coefficient拡散係数（diffusion coefficient） diffusion coefficient（拡散係数）$D$を粒径・粘度・温度へ結びつけるのがアインシュタインEinstein アインシュタイン（Einstein）Einstein（アインシュタイン） –ストークス Stokes ストークス（Stokes） Stokes（ストークス） 方程式である。

微視的な段階の蓄積を巨視的 macroscopic 巨視的（macroscopic） macroscopic（巨視的） な拡散係数 diffusion coefficient 拡散係数（diffusion coefficient） diffusion coefficient（拡散係数） へ結びつける。式は自由な一次元拡散の形であり、次元数、境界、束縛bound (electron)束縛（bound (electron)）bound (electron)（束縛）、異常拡散anomalous diffusion 異常拡散（anomalous diffusion）anomalous diffusion（異常拡散） では係数や時間依存性 time-dependent 時間依存性（time-dependent） time-dependent（時間依存性） が変わる。

まとめ

• ブラウン運動Brownian motion ブラウン運動（Brownian motion）Brownian motion（ブラウン運動） は微粒子が周囲分子から不規則な衝突を受ける運動である。ランダムウォークrandom walk ランダムウォーク（random walk）random walk（ランダムウォーク） では平均変位は0でも平均二乗変位 mean square displacement 平均二乗変位（mean square displacement） mean square displacement（平均二乗変位） は増える。
• 1次元では⟨x²⟩=2Dtである。
• 微視的な段階の蓄積を巨視的 macroscopic 巨視的（macroscopic） macroscopic（巨視的） な拡散係数 diffusion coefficient 拡散係数（diffusion coefficient） diffusion coefficient（拡散係数） へ結びつける。