拡散係数―アインシュタイン–ストークス方程式

🧠 拡散係数diffusion coefficient拡散係数（diffusion coefficient）diffusion coefficient（拡散係数）$D$は拡散の速さを表す。 温度が高いほど$D$は大きく、粘度と粒子半径が大きいほど小さい。

熱揺らぎと粘性抵抗

アインシュタインEinstein アインシュタイン（Einstein）Einstein（アインシュタイン） –ストークス Stokes ストークス（Stokes） Stokes（ストークス） 式は球形粒子 spherical particle球形粒子（spherical particle） spherical particle（球形粒子）、希薄溶液dilute solution希薄溶液（dilute solution）dilute solution（希薄溶液）、低Reynolds数、連続流体continuous fluid 連続流体（continuous fluid）continuous fluid（連続流体） という近似に基づく。熱揺らぎthermal fluctuation 熱揺らぎ（thermal fluctuation）thermal fluctuation（熱揺らぎ） kBTが拡散を強め、粘性抵抗viscous resistance 粘性抵抗（viscous resistance）viscous resistance（粘性抵抗） 6πηrが運動を妨げる。

拡散係数―アインシュタイン–ストークス方程式を表す式

$k_B$はBoltzmann定数、$T$は絶対温度、$\eta$は粘度、$r$は粒子半径である。

粒径・粘度から拡散係数へ

高粘度・大粒子ほど抗力 drag force 抗力（drag force） drag force（抗力） が増えDは小さい。

flowchart TD
  A["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='thermal fluctuation'>熱揺らぎ</span>と<span class='jp-term jp-term-diagram' title='viscous resistance'>粘性抵抗</span>"] --> B
  B["粒径・粘度から<span class='jp-term jp-term-diagram' title='diffusion coefficient'>拡散係数</span>へ"] --> C
  C["高粘度・大粒子ほど<span class='jp-term jp-term-diagram' title='drag force'>抗力</span>が増えDは小さい"] --> D
  D["混雑した細胞内での限界"]

混雑した細胞内での限界

ブラウン運動Brownian motionブラウン運動（Brownian motion）Brownian motion（ブラウン運動）の広がりを表す$D$は高温ほど大きく、高粘度・大粒子ほど小さい。分母の$6\pi\eta r$は低レイノルズ数 low Reynolds number 低レイノルズ数（low Reynolds number） low Reynolds number（低レイノルズ数） でのストークス抗力Stokes dragストークス抗力（Stokes drag）Stokes drag（ストークス抗力）に由来し、熱揺らぎthermal fluctuation 熱揺らぎ（thermal fluctuation）thermal fluctuation（熱揺らぎ） と粘性抵抗 viscous resistance 粘性抵抗（viscous resistance） viscous resistance（粘性抵抗） の釣り合いを表す。

分子大きさ推定や生体内 in vivo 生体内（in vivo） in vivo（生体内） 拡散速度の理解に使う。細胞質の混雑や高分子の非球形性、膜との相互作用が強い場合には単純式から外れる。

まとめ

物質・熱の輸送則は、勾配、輸送係数transport coefficient輸送係数（transport coefficient）transport coefficient（輸送係数）、ならびに連続体近似 continuum approximation 連続体近似（continuum approximation） continuum approximation（連続体近似） の適用範囲を分けて解釈する。¹²

• アインシュタインEinsteinアインシュタイン（Einstein）Einstein（アインシュタイン）・ストークスStokes ストークス（Stokes）Stokes（ストークス） の式は球状 spherical 球状（spherical） spherical（球状） 粒子のDを温度・粘度・半径へ結びつける。高温ほどDは大きい。
• 高粘度・大粒子ほど抗力 drag force 抗力（drag force） drag force（抗力） が増えDは小さい。
• 分子大きさ推定や生体内 in vivo 生体内（in vivo） in vivo（生体内） 拡散速度の理解に使う。