Biophysics · 01.03

放射源からの距離による放射照度の変化

Dependence of irradiance on distance from the source

応用トピック: 小線源治療の原理と実際

🧠 距離による放射照度irradiance放射照度（irradiance）irradiance（放射照度）の低下は「同じ放射束radiant flux放射束（radiant flux）radiant flux（放射束）が、どれだけ大きな面へ拡がるか」で決まる。点放射源では球面積が $r^2$ に比例するため $E\propto 1/r^2$ 、線状放射源では円筒側面積が $r$ に比例するため $E\propto 1/r$ 、無限に広い面放射源では理想的に距離依存がない。

放射照度と幾何学的拡散

放射照度irradiance放射照度（irradiance）irradiance（放射照度） $E$ は、表面へ入射する単位面積あたりの放射束radiant flux放射束（radiant flux）radiant flux（放射束）である。

放射測定量のうち、受光面へ届く量を表す放射照度irradiance放射照度（irradiance）irradiance（放射照度）に注目し、放射源の形状と距離の効果を分けて考える。

E = \frac{d\Phi}{dA}

放射源から出る総放射束radiant flux放射束（radiant flux）radiant flux（放射束）が一定でも、距離が増すと放射がより広い面積へ分布する。吸収や散乱がなくても、受光面の単位面積あたりに届く放射束radiant flux放射束（radiant flux）radiant flux（放射束）はこの幾何学的拡散geometrical spreading幾何学的拡散（geometrical spreading）geometrical spreading（幾何学的拡散）によって低下する。

点放射源：逆二乗則

等方的な点放射源が全方向へ総放射束radiant flux放射束（radiant flux）radiant flux（放射束） $\Phi$ を放つと、距離 $r$ では球面積 $4\pi r^2$ に均等に分布する。

ここで扱う幾何学的拡散geometrical spreading幾何学的拡散（geometrical spreading）geometrical spreading（幾何学的拡散）は、物質との相互作用による放射線の減弱とは別の低下要因である。

E(r) = \frac{\Phi}{4\pi r^2}

したがって、

E \propto \frac{1}{r^2}

2つの距離 $r_1$ 、 $r_2$ における放射照度irradiance放射照度（irradiance）irradiance（放射照度）の比は次式になる。

\frac{E_2}{E_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2

⭐ 距離を2倍にすると放射照度irradiance放射照度（irradiance）irradiance（放射照度）は $1/4$ 、3倍にすると $1/9$ になる。これが逆二乗則inverse-square law逆二乗則（inverse-square law）inverse-square law（逆二乗則）である。

線状放射源：逆比例

十分に長い線状放射源では、放射は主に円筒状に拡がる。長さ $L$ の円筒側面積は $2\pi rL$ なので、理想的には次の関係になる。

この距離依存性は放射束radiant flux放射束（radiant flux）radiant flux（放射束）の空間分布を表すものであり、電磁スペクトル上の光子エネルギーとは独立に成り立つ。

E(r) = \frac{\Phi/L}{2\pi r}

E \propto \frac{1}{r}

距離を2倍にしても、放射照度irradiance放射照度（irradiance）irradiance（放射照度）は $1/2$ になる。実際の有限長線状放射源は、線源に十分近い範囲では $1/r$ に近いが、線源全体を点とみなせるほど遠方では点放射源の $1/r^2$ へ近づく。

面放射源：理想的には距離非依存

無限に広い一様な面放射源では、距離が増しても受光面から見える放射面の広がりが補償するため、放射照度irradiance放射照度（irradiance）irradiance（放射照度）は理想的には一定となる。

E \propto r^0 = \text{constant}

現実の面放射源は有限なので、近距離では面放射源として振る舞っても、十分遠方では点放射源に近づく。

flowchart TD
  A["放射源の幾何学形状を確認"] --> B["点放射源"]
  A --> C["線状放射源"]
  A --> D["無限平面放射源"]
  B --> E["球面積 ∝ r²"]
  E --> F["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='irradiance'>放射照度</span> ∝ 1/r²"]
  C --> G["円筒側面積 ∝ r"]
  G --> H["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='irradiance'>放射照度</span> ∝ 1/r"]
  D --> I["見かけの面積が補償"]
  I --> J["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='irradiance'>放射照度</span> ≈ <span class='jp-term jp-term-diagram' title='constant'>一定</span>"]

放射源形状の比較

理想放射源	拡がる面	面積の距離依存	放射照度irradiance放射照度（irradiance）irradiance（放射照度）
点放射源	球面	$A\propto r^2$	$E\propto 1/r^2$
線状放射源	円筒側面	$A\propto r$	$E\propto 1/r$
無限平面放射源	平面	距離による希釈なし	$E\approx$ 一定

幾何学的低下と減弱の違い

距離とともに測定値が低下する理由は2つに分ける必要がある。

幾何学的拡散geometrical spreading幾何学的拡散（geometrical spreading）geometrical spreading（幾何学的拡散）: 放射束radiant flux放射束（radiant flux）radiant flux（放射束）が広い面へ分配される。放射エネルギーradiant energy放射エネルギー（radiant energy）radiant energy（放射エネルギー）が物質に奪われたわけではない。
減弱: 媒質との相互作用により、吸収・散乱で一次放射束radiant flux放射束（radiant flux）radiant flux（放射束）そのものが減少する。

吸収性媒質中の点放射源では、概念的に逆二乗則inverse-square law逆二乗則（inverse-square law）inverse-square law（逆二乗則）と指数減衰が同時に働く。

E(r) \propto \frac{1}{r^2}e^{-\mu r}

💡 距離による幾何学的拡散geometrical spreading幾何学的拡散（geometrical spreading）geometrical spreading（幾何学的拡散）と、媒質による減弱を区別すると、空気中の光、組織中の超音波、X線撮影、放射線防護の距離効果を同じ枠組みで理解できる。

まとめ

放射照度irradiance放射照度（irradiance）irradiance（放射照度）は単位面積あたりに入射する放射束radiant flux放射束（radiant flux）radiant flux（放射束）である。
点放射源では球面積が $r^2$ で増えるため、放射照度irradiance放射照度（irradiance）irradiance（放射照度）は $1/r^2$ で低下する。
線状放射源では理想的に $1/r$ 、無限平面放射源では距離によらず一定となる。
現実の有限放射源は、観察距離によって点・線・面放射源としての近似が変わる。
幾何学的拡散geometrical spreading幾何学的拡散（geometrical spreading）geometrical spreading（幾何学的拡散）と媒質内の減弱は別の効果であり、実際には両方が重なることがある。