Biophysics · 01.04

放射線の減弱則

Attenuation law

応用トピック: 線量測定の基礎概念

🧠 減弱は、放射線が物質中を進むたびに「今残っている量の一定割合」が失われる過程である。 そのため強度は距離に対して直線的ではなく指数関数的exponentially指数関数的（exponentially）exponentially（指数関数的）に低下する。失われる主因は吸収と散乱であり、線減弱係数linear attenuation coefficient線減弱係数（linear attenuation coefficient）linear attenuation coefficient（線減弱係数） $\mu$ が両者をまとめて表す。

減弱とは

減弱とは、放射線が物質と相互作用することにより、元の方向へ進む一次放射線の強度が低下する現象である。

放射源からの距離による放射照度irradiance放射照度（irradiance）irradiance（放射照度）の変化が幾何学的拡散geometrical spreading幾何学的拡散（geometrical spreading）geometrical spreading（幾何学的拡散）を扱うのに対し、ここでは物質を通過する間に放射が失われる過程を扱う。

主な原因は次の2つである。

吸収: 放射線のエネルギーが媒質へ移り、入射放射線が消失する。
散乱: 放射線の進行方向が変わり、測定している一次ビームから外れる。

💡 検出器へ直進する一次ビームを考えると、散乱された放射線はエネルギーを完全に失っていなくても「ビームから除かれた」と数える。したがって減弱は吸収だけを意味しない。

微小厚さでの減少

厚さ $dx$ の薄い層を通過するとき、強度 $I$ の減少量 $dI$ は、現在の強度 $I$ と厚さ $dx$ に比例する。

減弱係数が放射の種類やエネルギーに依存する理由は、電磁スペクトルと物質との相互作用を対応させると理解しやすい。

dI = -\mu I\,dx

$\mu$ は線減弱係数linear attenuation coefficient線減弱係数（linear attenuation coefficient）linear attenuation coefficient（線減弱係数）で、単位はm⁻¹またはcm⁻¹である。負号は、進むにつれて $I$ が減少することを表す。

この微分方程式を厚さ0から $x$ まで積分すると、一般減弱則general attenuation law一般減弱則（general attenuation law）general attenuation law（一般減弱則）が得られる。

I(x) = I_0 e^{-\mu x}

$I_0$ ：物質へ入る前の強度
$I(x)$ ：厚さ $x$ を通過した後の強度
$\mu$ ：線減弱係数linear attenuation coefficient線減弱係数（linear attenuation coefficient）linear attenuation coefficient（線減弱係数）
$x$ ：物質中を通過した距離

flowchart TD
  A["入射強度 I₀"] --> B["厚さdxの層へ入射"]
  B --> C["一部が吸収"]
  B --> D["一部が散乱"]
  C --> E["一次ビームから除去"]
  D --> E
  E --> F["残った強度が次の層へ進む"]
  F --> G["反復すると I = I₀e⁻ᵘˣ"]

なぜ指数関数になるのか

各層が「一定量」ではなく「その時点で残っている放射線の一定割合」を除去するからである。最初の層では入射量が多いため多く失われ、後の層では残量が少ないため失われる絶対量も小さくなる。

媒質による吸収を濃度から定量する場合は、Lambert–Beerの法則へこの考え方を発展させる。

厚さ	残存強度
$x=0$	$I_0$
$x=1/\mu$	$I_0/e\approx0.368I_0$
$x=2/\mu$	$I_0/e^2\approx0.135I_0$
$x=3/\mu$	$I_0/e^3\approx0.050I_0$

半価層

強度を半分にする物質の厚さを半価層half-value layer, HVL半価層（half-value layer, HVL）half-value layer, HVL（半価層）という。 $I/I_0=1/2$ を減弱則へ代入すると、

\mathrm{HVL} = \frac{\ln 2}{\mu}

HVLが小さいほど、その物質による減弱が強い。 $n$ 枚のHVLを通過すると、強度は $(1/2)^n$ になる。

⭐ $\mu$ が大きいほど減弱は強く、HVLは小さくなる。 $\mu$ とHVLは反比例する。

減弱係数を決める因子

$\mu$ は一定の物質定数ではなく、次の条件によって変化する。

放射線の種類とエネルギー
物質の密度
物質を構成する元素element元素（element）element（元素）の原子番号atomic number原子番号（atomic number）atomic number（原子番号）
起こりうる吸収・散乱過程

密度の影響を分離して物質を比較するときは、質量減弱係数mass attenuation coefficient質量減弱係数（mass attenuation coefficient）mass attenuation coefficient（質量減弱係数） $\mu/\rho$ を用いる。

\frac{\mu}{\rho}\quad [\mathrm{m^2/kg}\ \text{or}\ \mathrm{cm^2/g}]

複数過程・複数層の減弱

独立した相互作用が複数あるとき、全減弱係数は各過程の係数の和になる。

\mu_{\text{total}} = \mu_{\text{吸収}} + \mu_{\text{散乱}}

異なる物質層を順に通過する場合は、それぞれの指数因子を掛け合わせる。

I = I_0 e^{-\mu_1x_1}e^{-\mu_2x_2} = I_0 e^{-(\mu_1x_1+\mu_2x_2)}

適用条件と限界

単純な指数減弱則は、細い単色ビーム（narrow, 単一エネルギービーム）と均一な物質を仮定する。広いビームでは散乱線が検出器へ入り、測定強度が単純式より大きくなることがある。異なるエネルギーを含むX線では、低エネルギー成分が先に吸収されて平均エネルギーが上がるビームハードニングbeam hardeningビームハードニング（beam hardening）beam hardening（ビームハードニング）も起こる。

⚠️ 距離による逆二乗則inverse-square law逆二乗則（inverse-square law）inverse-square law（逆二乗則）と、物質内での指数関数的exponentially指数関数的（exponentially）exponentially（指数関数的）な減弱は別の法則である。測定配置によっては両方を考慮する必要がある。

まとめ

減弱は吸収と散乱による一次放射線強度の低下である。
微小層で失われる量が現在の強度に比例するため、 $I=I_0e^{-\mu x}$ となる。
線減弱係数linear attenuation coefficient線減弱係数（linear attenuation coefficient）linear attenuation coefficient（線減弱係数） $\mu$ が大きいほど減弱は強く、HVLは小さい。
全減弱係数は、独立した吸収・散乱過程の係数の和として表せる。
単純な指数則は単色・細いビーム・均一媒質で最もよく成り立つ。