Biophysics · 08.04

Lambert–Beerの法則

The Lambert-Beer law

🧠 Lambert–Beerの法則は、均一な希薄rarefaction希薄（rarefaction）rarefaction（希薄）溶液を通る単色光monochromatic light単色光（monochromatic light）monochromatic light（単色光）について、吸光度absorbance吸光度（absorbance）absorbance（吸光度）が吸収物質の濃度と光路長optical path length光路長（optical path length）optical path length（光路長）に比例することを示す。透過率transmittance透過率（transmittance）transmittance（透過率）は指数関数的exponentially指数関数的（exponentially）exponentially（指数関数的）に減るが、吸光度absorbance吸光度（absorbance）absorbance（吸光度）へ対数変換logarithmic transformation対数変換（logarithmic transformation）logarithmic transformation（対数変換）すると濃度に対して直線になる。

透過率と吸光度

入射強度を $I_0$ 、試料透過後を $I$ とすると、透過率transmittance透過率（transmittance）transmittance（透過率） $T$ と吸光度absorbance吸光度（absorbance）absorbance（吸光度） $A$ は

T=\frac{I}{I_0},\qquad A=-\log_{10}T=\log_{10}\!\left(\frac{I_0}{I}\right)

で定義される。自然対数を使う指数関数的exponentially指数関数的（exponentially）exponentially（指数関数的）減弱 $I=I_0e^{-\mu l}$ と同じ構造だが、分光測定では常用対数による吸光度absorbance吸光度（absorbance）absorbance（吸光度）を用いることが多い。

濃度と光路長への比例

単色光monochromatic light単色光（monochromatic light）monochromatic light（単色光）、均一な溶液、独立に吸収する分子という条件では

A=\varepsilon cl

となる。 $\varepsilon$ は波長に依存するモル吸光係数molar absorption coefficientモル吸光係数（molar absorption coefficient）molar absorption coefficient（モル吸光係数）、 $c$ はモル濃度、 $l$ は光路長optical path length光路長（optical path length）optical path length（光路長）である。 $\varepsilon$ を $\mathrm{L,mol^{-1},cm^{-1}}$ 、 $c$ を $\mathrm{mol,L^{-1}}$ 、 $l$ をcmで表せば $A$ は無次元になる。

複数の吸収種が互いに独立なら、同じ波長での吸光度absorbance吸光度（absorbance）absorbance（吸光度）は加算できる。

A(\lambda)=l\sum_i\varepsilon_i(\lambda)c_i

flowchart TD
  A["濃度 c または<span class='jp-term jp-term-diagram' title='optical path length'>光路長</span> l が増加"] --> B["吸収される光子の割合が増加"]
  B --> C["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='transmittance'>透過率</span> T=I/I₀ が<span class='jp-term jp-term-diagram' title='exponentially'>指数関数的</span>に低下"]
  C --> D["A=-log₁₀T に変換"]
  D --> E["A=εcl：濃度に対して直線化"]

直線性が崩れる原因

原因	起こること
高濃度	分子間相互作用や屈折率refractive index屈折率（refractive index）refractive index（屈折率）変化で $\varepsilon$ が一定でなくなる
散乱粒子	光軸外への散乱を吸収として数えてしまう
多色光・広い帯域	波長ごとに $\varepsilon$ が異なり、単一の比例式にならない
化学平衡の変化	pHや会合によって吸収種そのものが変わる
迷光stray light迷光（stray light）stray light（迷光）・検出器飽和	高吸光度absorbance吸光度（absorbance）absorbance（吸光度）域で透過光を過大評価する

散乱による見かけの吸光度absorbance吸光度（absorbance）absorbance（吸光度）は比濁法turbidimetry比濁法（turbidimetry）turbidimetry（比濁法）の観測量と重なるため、濁った試料では吸収と散乱を分離する必要がある。

定量分析への利用

既知濃度の標準試料で $A$ 対 $c$ の検量線calibration curve検量線（calibration curve）calibration curve（検量線）を作り、その直線範囲内で未知濃度を求める。波長による $\varepsilon$ の違いは吸収スペクトルabsorption spectrum吸収スペクトル（absorption spectrum）absorption spectrum（吸収スペクトル）として測定する。

⭐ 吸光度absorbance吸光度（absorbance）absorbance（吸光度）と透過率transmittance透過率（transmittance）transmittance（透過率）は比例しない。 $A$ が1なら $T=0.1$ 、 $A$ が2なら $T=0.01$ であり、吸光度absorbance吸光度（absorbance）absorbance（吸光度）が1増えるごとに透過率transmittance透過率（transmittance）transmittance（透過率）は10分の1になる。

まとめ

透過率transmittance透過率（transmittance）transmittance（透過率）は $I/I_0$ 、吸光度absorbance吸光度（absorbance）absorbance（吸光度）は $-\log_{10}(I/I_0)$ で定義される。
Lambert–Beerの法則 $A=\varepsilon cl$ は、希薄rarefaction希薄（rarefaction）rarefaction（希薄）・均一・単色光monochromatic light単色光（monochromatic light）monochromatic light（単色光）という条件で成立する。
独立な複数成分の吸光度absorbance吸光度（absorbance）absorbance（吸光度）は波長ごとに加算できる。
高濃度、散乱、化学状態変化、迷光stray light迷光（stray light）stray light（迷光）は直線性からの逸脱を生む。