Biophysics · 06.09

Boltzmann分布の応用III：気圧公式

Applications of the Boltzmann-distribution III.: barometric formula

🧠 気圧公式barometric formula気圧公式（barometric formula）barometric formula（気圧公式）は重力ポテンシャルエネルギーgravitational potential energy重力ポテンシャルエネルギー（gravitational potential energy）gravitational potential energy（重力ポテンシャルエネルギー）が高いほど気体分子の数密度number density数密度（number density）number density（数密度）が指数関数的exponentially指数関数的（exponentially）exponentially（指数関数的）に減ることを示す。

重力場でのBoltzmann分布

等温理想大気isothermal ideal atmosphere等温理想大気（isothermal ideal atmosphere）isothermal ideal atmosphere（等温理想大気）ではボルツマン因子Boltzmann factorボルツマン因子（Boltzmann factor）Boltzmann factor（ボルツマン因子）を重力ポテンシャルエネルギーgravitational potential energy重力ポテンシャルエネルギー（gravitational potential energy）gravitational potential energy（重力ポテンシャルエネルギー） $mgh$ へ適用する。

flowchart TD
  A["高度上昇"]
  B["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='gravity'>重力</span>ポテンシャル増加"]
  C["Boltzmann因子に従う<span class='jp-term jp-term-diagram' title='population'>占有数</span>減少"]
  D["圧力低下"]
  A --> B
  B --> C
  C --> D

気圧公式

p(h)=p_0\exp\!\left(-\frac{Mgh}{RT}\right)

$M$ はモル質量molar massモル質量（molar mass）molar mass（モル質量）。実大気では温度変化と組成変化により補正が必要。

等温近似と高度依存性

重力ポテンシャルエネルギーgravitational potential energy重力ポテンシャルエネルギー（gravitational potential energy）gravitational potential energy（重力ポテンシャルエネルギー） $mgh$ をBoltzmann因子へ代入すると高度分布が得られ、圧力と粒子数密度number density数密度（number density）number density（数密度）の換算には理想気体ideal gas理想気体（ideal gas）ideal gas（理想気体）の状態方程式van der Waals equation状態方程式（van der Waals equation）van der Waals equation（状態方程式）を使う。

重い気体ほどスケールハイトscale heightスケールハイト（scale height）scale height（スケールハイト）が小さい。
高温度temperature高温度（temperature）temperature（高温度）ほど高度による減少は緩やか。
低高度では近似的に線形にも扱える。

生体・医学での解釈

高地で大気圧atmospheric pressure大気圧（atmospheric pressure）atmospheric pressure（大気圧）と酸素分圧partial pressure of oxygen酸素分圧（partial pressure of oxygen）partial pressure of oxygen（酸素分圧）が低下する理由を示す。

まとめ

気圧公式barometric formula気圧公式（barometric formula）barometric formula（気圧公式）は重力ポテンシャルエネルギーgravitational potential energy重力ポテンシャルエネルギー（gravitational potential energy）gravitational potential energy（重力ポテンシャルエネルギー）が高いほど気体分子の数密度number density数密度（number density）number density（数密度）が指数関数的exponentially指数関数的（exponentially）exponentially（指数関数的）に減ることを示す。
重い気体ほどスケールハイトscale heightスケールハイト（scale height）scale height（スケールハイト）が小さい。
高地で大気圧atmospheric pressure大気圧（atmospheric pressure）atmospheric pressure（大気圧）と酸素分圧partial pressure of oxygen酸素分圧（partial pressure of oxygen）partial pressure of oxygen（酸素分圧）が低下する理由を示す。