Biophysics · 06.08

Boltzmann分布の応用I：Nernstの式

Applications of the Boltzmann-distribution I. : Nernst equation

🧠 ネルンストNernstネルンスト（Nernst）Nernst（ネルンスト）の式Nernst equation式（Nernst equation）Nernst equation（式）は、膜を挟む濃度差concentration difference濃度差（concentration difference）concentration difference（濃度差）と電位差potential difference電位差（potential difference）potential difference（電位差）が1種類のイオンについて釣り合う平衡電位equilibrium potential平衡電位（equilibrium potential）equilibrium potential（平衡電位）を与える。

濃度差と電位差の釣り合い

濃度勾配はイオンを高濃度側から低濃度側へ拡散させ、膜を隔てた電場electric field電場（electric field）electric field（電場）はイオンの電荷に応じて逆向きまたは同じ向きに力を加える。両者が釣り合い、電気化学ポテンシャルelectrochemical potential電気化学ポテンシャル（electrochemical potential）electrochemical potential（電気化学ポテンシャル）が膜の両側で等しくなると正味流束net flux正味流束（net flux）net flux（正味流束）は0になる。

flowchart TD
  A["濃度勾配が拡散を駆動"]
  B["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='charge separation'>電荷分離</span>で電位勾配形成"]
  C["両者が釣り合い<span class='jp-term jp-term-diagram' title='Nernst'>ネルンスト</span>電位（Nernst potential）"]
  A --> B
  B --> C

Nernstの式

E_{\mathrm{ion}}=\frac{RT}{zF}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{ion}]_{\mathrm{out}}}{[\mathrm{ion}]_{\mathrm{in}}}\right)

$z$ は価数、 $F$ はFaraday定数。濃度の内外と符号を一貫させる。

単一イオン平衡電位の解釈

濃度差concentration difference濃度差（concentration difference）concentration difference（濃度差）と電位差potential difference電位差（potential difference）potential difference（電位差）をまとめた電気化学ポテンシャルelectrochemical potential電気化学ポテンシャル（electrochemical potential）electrochemical potential（電気化学ポテンシャル）が膜の両側で等しいと正味流束net flux正味流束（net flux）net flux（正味流束）が0になる。濃度比の対数項はBoltzmann分布から導かれる。

陰イオンanion陰イオン（anion）anion（陰イオン）では $z<0$ 。
絶対温度 $T$ が上がると、同じ濃度比に対する電位差potential difference電位差（potential difference）potential difference（電位差）の絶対値は大きくなる。
式は対象イオンが膜を透過でき、活量を濃度で近似できる平衡状態を仮定する。
Nernst電位は単一イオンの平衡電位equilibrium potential平衡電位（equilibrium potential）equilibrium potential（平衡電位）であり、複数イオンが関与する実際の膜電位とは一般に一致しない。

生体・医学での解釈

K⁺、Na⁺、Cl⁻それぞれの平衡電位equilibrium potential平衡電位（equilibrium potential）equilibrium potential（平衡電位）を求め、静止膜電位resting membrane potential静止膜電位（resting membrane potential）resting membrane potential（静止膜電位）がどのイオンの平衡電位equilibrium potential平衡電位（equilibrium potential）equilibrium potential（平衡電位）へ近いかを透過性と対応させる基礎になる。

まとめ

ネルンストNernstネルンスト（Nernst）Nernst（ネルンスト）の式は、膜を挟む濃度差concentration difference濃度差（concentration difference）concentration difference（濃度差）と電位差potential difference電位差（potential difference）potential difference（電位差）が1種類のイオンについて釣り合う平衡電位equilibrium potential平衡電位（equilibrium potential）equilibrium potential（平衡電位）を与える。
濃度比の向きと価数 $z$ が電位の符号を決め、陰イオンanion陰イオン（anion）anion（陰イオン）では符号が反転する。
単一イオンの平衡電位equilibrium potential平衡電位（equilibrium potential）equilibrium potential（平衡電位）と、複数イオンから決まる実際の膜電位を区別する。