Biophysics · 18.06

フィックの第二法則

Fick’s second law

🧠 非定常状態non-steady state非定常状態（non-steady state）non-steady state（非定常状態）で濃度分布が時間変化する場合を記述する。 局所濃度の時間変化は濃度曲線の空間的曲率curvature曲率（curvature）curvature（曲率）で決まる。

粒子保存と濃度曲率

局所の粒子保存と第一法則Fick's first law第一法則（Fick's first law）Fick's first law（第一法則）を組み合わせると第二法則second law第二法則（second law）second law（第二法則）が得られる。濃度分布の曲率curvature曲率（curvature）curvature（曲率）が正ならその点の濃度は増え、負なら減るため、時間とともに鋭い勾配が平滑化する。

フィックの第二法則を表す式

\frac{\partial c}{\partial t}=D\frac{\partial^2c}{\partial x^2}

$c(x,t)$ は濃度場である。ここでは $D$ が位置・濃度・時間によらず一定と仮定している。

濃度分布の時間発展

尖った分布は時間とともにガウス分布Gaussian distributionガウス分布（Gaussian distribution）Gaussian distribution（ガウス分布）状に広がる。

flowchart TD
  A["粒子保存と濃度<span class='jp-term jp-term-diagram' title='curvature'>曲率</span>"] --> B
  B["濃度分布の時間発展"] --> C
  C["尖った分布は時間とともに<span class='jp-term jp-term-diagram' title='Gaussian distribution'>ガウス分布</span>状に広がる"] --> D
  D["境界条件と反応項"]

境界条件と反応項

フィックFickフィック（Fick）Fick（フィック）の第一法則Fick's first law第一法則（Fick's first law）Fick's first law（第一法則）が与える流束flux流束（flux）flux（流束）の発散divergence発散（divergence）divergence（発散）を物質保存式へ入れると、局所濃度の時間変化を表す第二法則second law第二法則（second law）second law（第二法則）が得られる。尖った濃度分布が時間とともにガウス分布Gaussian distributionガウス分布（Gaussian distribution）Gaussian distribution（ガウス分布）状へ広がることは、ランダムウォークrandom walkランダムウォーク（random walk）random walk（ランダムウォーク）で平均二乗変位が増える微視的描像と一致する。

拡散時間は距離の二乗に比例して増える。閉じた系では総粒子数を保存するが、膜流束flux流束（flux）flux（流束）や化学反応chemical reaction化学反応（chemical reaction）chemical reaction（化学反応）があれば境界条件・反応項を追加する。

まとめ

非定常状態non-steady state非定常状態（non-steady state）non-steady state（非定常状態）で濃度分布が時間変化する場合を記述する。局所濃度の時間変化は濃度曲線の空間的曲率curvature曲率（curvature）curvature（曲率）で決まる。
尖った分布は時間とともにガウス分布Gaussian distributionガウス分布（Gaussian distribution）Gaussian distribution（ガウス分布）状に広がる。
拡散時間は距離の二乗に比例して増える。