Biophysics · 20.05

ハーゲン–ポアズイユの法則と流動抵抗

Hagen–Poiseuille law; flow resistance

🧠 円管内層inner layer内層（inner layer）inner layer（内層）流では流量が圧力差pressure difference圧力差（pressure difference）pressure difference（圧力差）と半径の4乗に比例する。粘度と管長が大きいほど流れは減る。

円管内層流の速度分布

円管内の圧力差pressure difference圧力差（pressure difference）pressure difference（圧力差）が粘性viscosity粘性（viscosity）viscosity（粘性）抵抗に打ち勝つと放物線状速度分布ができる。定常・層流laminar flow層流（laminar flow）laminar flow（層流）・ニュートン流体Newtonian fluidニュートン流体（Newtonian fluid）Newtonian fluid（ニュートン流体）・剛体円管・十分発達した流れという条件で、QはΔpに比例しLとηに反比例する。

ハーゲン–ポアズイユの法則と流動抵抗を表す式

I_V=\frac{\pi r^4\Delta p}{8\eta L},\qquad R=\frac{8\eta L}{\pi r^4}

$r$ は管半径、 $L$ は管長、 $\Delta p$ は圧力差pressure difference圧力差（pressure difference）pressure difference（圧力差）である。抵抗 $R=\Delta p/I_V$ の単位はPa·s/m³となる。

圧力差から流量へ

流動抵抗は8ηL/(πr⁴)である。

flowchart TD
  A["円管両端の<span class='jp-term jp-term-diagram' title='pressure difference'>圧力差</span> $\Delta p$"] --> B
  B["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='viscosity'>粘性</span>を伴う定常<span class='jp-term jp-term-diagram' title='laminar flow'>層流</span>"] --> C
  C["放物線状の速度分布"] --> D
  D["断面全体で積分<br>$Q\propto r^4\Delta p/(\eta L)$"] --> E
  E["半径の微小変化<br>抵抗を大きく変える"]

半径の4乗則と血管

ニュートンNewtonニュートン（Newton）Newton（ニュートン）の粘性viscosity粘性（viscosity）viscosity（粘性）法則を円管断面全体で積分すると、圧力差pressure difference圧力差（pressure difference）pressure difference（圧力差）と流量を結ぶポアズイユPoiseuilleポアズイユ（Poiseuille）Poiseuille（ポアズイユ）則が得られる。ただしレイノルズ数Reynolds numberレイノルズ数（Reynolds number）Reynolds number（レイノルズ数）が大きく乱流turbulent flow乱流（turbulent flow）turbulent flow（乱流）化すればこの比例関係は崩れる。循環系では、この抵抗と各部位each site (each region)各部位（each site (each region)）each site (each region)（各部位）の圧力降下が血管系の圧力分布を作る。

わずかな血管収縮・血管拡張が血流と血圧を大きく変える。半径の4乗依存性により軽い血管収縮でも抵抗が大きく増えるが、生体血管の弾性や血液の非ニュートン性non-Newtonian behavior非ニュートン性（non-Newtonian behavior）non-Newtonian behavior（非ニュートン性）は理想式からのずれを生む。

まとめ

円管内層inner layer内層（inner layer）inner layer（内層）流では流量が圧力差pressure difference圧力差（pressure difference）pressure difference（圧力差）と半径の4乗に比例する。粘度と管長が大きいほど流れは減る。
流動抵抗は8ηL/(πr⁴)である。
わずかな血管収縮・血管拡張が血流と血圧を大きく変える。