確率と分布

🧠 記述統計は手元の標本について語る。しかし臨床の問いは常に「次の患者では」「もう一度やったら」という形をしている。この「繰り返したら」を語る言語が確率であり、確率の形を一つの関数にまとめたものが分布である。確率と分布は、記述統計と推測統計をつなぐ唯一の橋である。

事象

事象event事象（event）event（事象） とは、ランダムな状況（「実験」）における、関心のある1つの結果である。事象は必ず観測可能でなければならない——つまり「起きたか起きなかったか」が一意に判定できることが条件である。

💡 何を事象とみなすかはこちらが自由に決めてよい。「サイコロの目が6」も「偶数」も等しく事象である。ただし決めた瞬間に $\Omega$ の分割の仕方が決まるので、後から都合よく事象を定義し直すと確率の意味が壊れる（→ 統計的議論の組み立て）。

事象どうしの関係

頻度から確率へ

同じ実験を $N$ 回繰り返し、事象 A が起きた回数を $k_A$ とすると、

• 絶対度数 … $k_A$
• 相対度数 … $k_A / N$

⚠️ 相対度数は実験を繰り返すたびに違う値になる。しかし $N$ を大きくしていくと、ある値のまわりに安定していく。この安定先を確率 $P(A)$ と定義する（大数の法則）。

💡 これは確率の頻度論的frequentist 頻度論的（frequentist）frequentist（頻度論的） 定義である。「確率とは、無限に繰り返したときの相対度数の極限」という意味であり、したがって1回限りの出来事に確率を割り当てることが原理的に難しいという弱点をもつ。これに対して確率を「信念の度合い」と捉えるベイズ的定義があり、そこでは1回限りの事象や、まだ観測していない量にも確率を置ける（→ ベイズ的方法）。本科目の検定・信頼区間confidence interval 信頼区間（confidence interval）confidence interval（信頼区間） はすべて頻度論の枠組みで組み立てられている。

Kolmogorov の公理

$\varnothing$ は不可能事象、$\Omega$ は全事象（必ず起こる事象）である。

排反な事象については加法が成り立つ。

⚠️ 排反でないなら重複を引く必要がある（$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$）。これを忘れて足し算だけすると、確率が1を超えるという分かりやすい破綻が起きる。

独立と条件付き確率

独立stochastic independence独立（stochastic independence）stochastic independence（独立） とは、一方が起きても他方の確率が変わらないことである。定義は次の等式そのものである。

⚠️ 「排反」と「独立」は正反対に近い概念であり、混同しやすい。 排反な2事象（どちらも確率が0でない）は、片方が起きた瞬間にもう片方の確率が0になるので、独立ではない。「無関係unrelated 無関係（unrelated）unrelated（無関係） だから足せる」と考えると必ず間違える——足せるのは排反のとき、掛けられるのは独立のときである。

条件付き確率 $P(A \mid B)$ は「B が起きたという条件のもとでの A の確率」である。

💡 条件付き確率の実体は「$\Omega$ 全体ではなく、B という部分集合の中だけで相対度数を数え直す」ことである。分母が $\Omega$ から B に縮むだけで、やっていることは度数の数え上げに変わりない。

独立なら $P(A \mid B) = P(A)$ となる。B の情報が A の見込みを変えないという定義の言い換えである。

部分集合の例

A が B の部分集合なら（A が起これば B は自動的に成立するので）$P(A \cap B) = P(A)$ となり、

たとえば「糖尿病である」確率を $P(B)$、「2型糖尿病である」確率を $P(A)$ と置き、$P(B) = 0.15$、$P(A) = 0.10$ とすれば、糖尿病と分かっている患者が2型である確率は $0.10 / 0.15 \approx 0.667$ となる。

⚠️ この 66.7% は式の使い方を示すための架空の数値であり、疫学的な事実ではない。実際には糖尿病の大多数（おおむね9割以上）が2型であり、上の数字はそのまま覚えてはならない。教材の例題に出てくる数値は、計算手順の説明用に選ばれているだけのことが多い。

オッズ・リスク・比

条件付き確率から、疫学で使う指標が直接導かれる。

⚠️ OR を RR として読んではならない。 アウトカムall-or-none outcomes アウトカム（all-or-none outcomes）all-or-none outcomes（アウトカム） が稀なとき（$P$ が小さいとき）は $O \approx P$ なので両者は近づくが、頻度の高いアウトカム all-or-none outcomes アウトカム（all-or-none outcomes） all-or-none outcomes（アウトカム） では $\mathrm{OR}$ は $\mathrm{RR}$ よりはるかに1から遠い値になり、効果を誇張する。詳細は 疫学指標・ROCROC（receiver operating characteristic）曲線・尤度比 で扱う。

分布

複数の結果がありうるとき、すべての結果に確率を割り当てた対応が分布である。

ここで $\xi$ は確率変数 variables変数（variables） variables（変数）、$x$ はその特定の値を表す。

⚠️ 密度関数の値は確率ではない。 連続変数 variables 変数（variables） variables（変数） では「ちょうど $x$ になる確率」は0であり、確率を与えるのは曲線の下の面積である。

💡 だから密度の縦軸の値そのものには実用上の意味がない（単位は「1/変数variables 変数（variables）variables（変数） の単位」になる）。読むべきは面積であり、CDF はその面積を最初から累積 cumulative 累積（cumulative） cumulative（累積） して描いたものである。CDF は必ず単調 monotone 単調（monotone） monotone（単調） 増加で、右端で1に収束する。

医学で登場する主な分布は、正規Gauss 正規（Gauss）Gauss（正規） 分布、Student の t分布、二項分布、$\chi^2$ 分布、一様分布、指数分布、幾何分布、対数正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） などである。一覧を暗記する必要はない。重要なのは二項分布と正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） の2つで、残りは必要になった章で導入される。

二項分布

条件：(1) $n$ 回の試行を行う、(2) 各試行の結果は2値（成功／失敗）、(3) 各試行の成功確率 $p$ は一定、(4) 試行どうしは独立。この4条件が揃うとき、成功回数 $k$ の分布は二項分布に従う。

⚠️ 4条件のうち臨床で最も破れやすいのは独立性である。同じ病棟の患者、同じ術者 operator (person performing the procedure) 術者（operator (person performing the procedure)） operator (person performing the procedure)（術者） の症例、同一患者の左右の眼は独立ではない。独立でないデータに二項分布を当てると、ばらつきを過小評価する。

二項分布に対して立てられる問いは4通りある。

下側確率は「以下」（$\le$）で $k$ を含み、上側確率は「より多い」（$>$）で $k$ を含まない。統計ソフトの出力もこの規約に従う。離散分布では等号を含むか否かで答えが変わるので、ここを取り違えると数%ずれる。

例：機内食

乗客が菜食主義者である確率を $p = 0.05$、乗客数を $n = 30$ とする。

from scipy.stats import binom

n, p = 30, 0.05
print(binom.pmf(3, n, p))    # ちょうど3人 → 0.1270
print(binom.cdf(3, n, p))    # 3人以下（＝3食で足りる） → 0.9392
print(binom.sf(3, n, p))     # 3人より多い（＝足りない） → 0.0608
print(binom.ppf(0.99, n, p)) # 99%の確率で足りる最小の食数 → 5.0

💡 この出力の読む順序

1. 効果の大きさ — 「3食では6%の確率で不足する」という現実の量をまず読む
2. その量に意味があるか — 6%は許容できるか。100便に6便で足りなくなる、と言い換えて判断する
3. 不確実性 — $p = 0.05$ 自体が推定値なら、その誤差も効いてくる
4. 数式の値そのものは最後。「0.0608」という数字を報告しても意思決定にはならない

⚠️ 「100%確実に足りるようにするには？」という問いの答えは30食である。二項分布では $k = n$ 以外に確率1は達成できない。「絶対に足りる」を求めると常に最大値になる——これはリスク管理の本質的な性質であり、確率的stochastic (vs. deterministic) 確率的（stochastic (vs. deterministic)）stochastic (vs. deterministic)（確率的） な保証（99%）と絶対的 absolute 絶対的（absolute） absolute（絶対的） な保証（100%）のコストは連続的につながっていない。

正規分布

連続変数 variables 変数（variables） variables（変数） の分布で、2つのパラメータ Parameter パラメータ（Parameter） Parameter（パラメータ） をもつ：中心＝期待値 $\mu$、広がり＝標準偏差 standard deviation標準偏差（standard deviation） standard deviation（標準偏差） $\sigma$。

$\mu = 0$、$\sigma = 1$ とした標準正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） の形。

xychart-beta
    title "標準正規分布の確率密度"
    x-axis "z（平均から標準偏差いくつ分か）" [-4, -3.5, -3, -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4]
    y-axis "確率密度" 0 --> 0.42
    line [0.0001, 0.0009, 0.0044, 0.0175, 0.054, 0.1295, 0.242, 0.3521, 0.3989, 0.3521, 0.242, 0.1295, 0.054, 0.0175, 0.0044, 0.0009, 0.0001]

💡 表の4行がこの1枚に見える。$z = 0$ で最大（密度 0.399）、$z = \pm 1$ が変曲点 inflection point変曲点（inflection point） inflection point（変曲点）、$z = \pm 3$ ではすでに密度が 0.0044 と中心の約 1/90 まで落ちる。それでも0 にはならない——裾は無限に続く。「$3\sigma$ の外は起こらない」ではなく「めったに起こらない」である。

⭐ 裾がどれほど急速に薄くなるかを掴んでおくと、後の話が楽になる。$z = \pm 2$ の外側は合わせて約 5%、$\pm 3$ の外側は約 0.3%。分布の値のほとんどが中心のごく狭い範囲に集まるという事実が、平均 ± 2SD という要約が機能する理由であり、同時に外れ値の判定が成り立つ根拠でもある。

標準化

任意の正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） は、$\mu = 0$、$\sigma = 1$ の標準正規分布 Gaussian/normal distribution正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布）に変換できる。

💡 $z$ は「平均から SD いくつぶん離れているか」を表す無単位の量である。単位が消えるので、身長と血圧のように単位の違う変数 variables 変数（variables） variables（変数） どうしを同じ尺度で比較できる。これが検査値 Labs 検査値（Labs） Labs（検査値） の標準化スコア（成長のZスコア Z scoreZスコア（Z score） Z score（Zスコア）、骨密度のTスコアなど）の原理である。

68 / 95 / 99.7 の規則

⚠️ この規則が正確に成り立つのは「真に正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） する量」についてだけである。 実データはせいぜい正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） に近いだけなので、とくに裾（3σの外）では相対誤差が非常に大きくなる。「3σを超えたから1000回に3回の異常事態だ」という推論は、裾が正規より重い実データでは大きく外れる。中央付近の68%・95%は近似としてよく効くが、裾に外挿してはならない。

もう一点。「95%」に対応する厳密な倍率は 2 ではなく 1.96 である。信頼区間confidence interval 信頼区間（confidence interval）confidence interval（信頼区間） や基準範囲 reference range 基準範囲（reference range） reference range（基準範囲） では 1.96 を使う（→ 標本抽出と推定）。2 は暗算用の近似である。

例：大腿長

大腿長が $\mu = 50$ cm、$\sigma = 5$ cm の正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） に従うとする。

from scipy.stats import norm

mu, sigma = 50, 5
print(norm.cdf(55, mu, sigma))                       # 55cm以下 → 0.8413
print(norm.cdf(51, mu, sigma) - norm.cdf(49, mu, sigma))  # 49–51cm → 0.1585
print(norm.ppf(0.99, mu, sigma))                     # 99%が収まる上限 → 61.63 cm

💡 3行目のような「所定の割合を収める値」を求める操作が分位点関数であり、正規分布Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution）Gaussian/normal distribution（正規分布） ではこれが基準範囲 reference range基準範囲（reference range） reference range（基準範囲）・信頼区間confidence interval信頼区間（confidence interval）confidence interval（信頼区間）・臨界値のすべての正体である。座席設計のような場面では、この 61.63 cm を「99%の人が快適」と読む。残る1%を切り捨ててよいかは統計ではなく設計判断である。

対数正規分布

生体の測定値には右に長い裾を引くものが多い（血糖、総コレステロールtotal cholesterol総コレステロール（total cholesterol）total cholesterol（総コレステロール）、中性脂肪triglyceride中性脂肪（triglyceride）triglyceride（中性脂肪）、酵素活性、入院日数）。このような変数 variables 変数（variables） variables（変数） は正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） しないが、対数を取ると正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） に近づくことが多い。これを対数正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） という。

💡 対数正規が生じるのは、多くの要因が加算的ではなく乗算的に効くときである。加算的に効くなら正規、乗算的に効くなら対数正規になる（対数を取れば掛け算は足し算になるため）。生体の濃度や時間は倍率で変動しやすいので、対数正規が頻出するのは偶然 chance 偶然（chance） chance（偶然） ではない。

⚠️ 対数変換logarithmic transformation 対数変換（logarithmic transformation）logarithmic transformation（対数変換） した値で平均を取り、指数に戻して得られるのは算術平均ではなく幾何平均である。元の尺度の平均とは一致しないので、報告のときにどちらを示しているか明示する。

正規性の確認：QQプロット

QQプロット（quantile–quantile plot） は、横軸に標準正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） の $p$-分位数、縦軸に調べたい変数 variables 変数（variables） variables（変数） の $p$-分位数を取り、同じ $p$ どうしを1点として打つ図である。データが正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） に従うなら、点は直線に並ぶ。

⚠️ 横軸から確率そのものを直接読むことはできない。読めるのは中央値のような自明な場合だけである（標準正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） の0.5-分位数は0なので、横軸0の点の縦座標がそのデータの中央値になる）。

ヒストグラムだけで「正規分布している」と言わない

これは教材でも実務でも最も多い誤りの一つである。

⭐ 正しい手順は、ヒストグラムと QQプロットを併用し、必要なら検定を補助的に使うことである¹。図が主で検定が従であり、逆ではない。

そもそも何の正規性が要るのか

⚠️ さらに根本的な点として、t検定や線形回帰が要求しているのはデータそのものの正規性ではなく、推定量（標本平均や回帰係数）の標本分布の正規性である²。中心極限定理により、元の分布が非正規でも $n$ が十分大きければ標本平均は正規に近づく。

💡 したがって実務上の判断はこうなる。

import pandas as pd, numpy as np, scipy.stats as st, matplotlib.pyplot as plt

df = pd.read_csv("frmgham2.csv", na_values=["NA"])
st.probplot(df["HEARTRTE"].dropna(), dist="norm", plot=plt)          # ほぼ直線になる
st.probplot(np.log(df["TOTCHOL"].dropna()), dist="norm", plot=plt)   # 対数変換で直線化
plt.show()

実習データ³では、心拍数の QQプロットはほぼ直線に乗り、ヒストグラムも対称である。一方、総コレステロールtotal cholesterol 総コレステロール（total cholesterol）total cholesterol（総コレステロール） は両裾で直線から大きく外れ、ヒストグラムは右に歪んで上側に外れ値が並ぶ——対数変換 logarithmic transformation 対数変換（logarithmic transformation） logarithmic transformation（対数変換） すると両者とも正規に近づく。

中心極限定理

同一の分布に従う独立な確率変数 variables 変数（variables） variables（変数） を多数足し合わせた（あるいは平均した）量は、元の分布が何であれ正規分布Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution）Gaussian/normal distribution（正規分布） に近づく。寄与する変数 variables 変数（variables） variables（変数） が多いほど近づきが良い。

💡 これが正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） が至るところに現れる理由である。身長や血圧が正規に近いのは、多数の遺伝的・環境的要因が加算的に効いているためと理解できる。そして統計的推測にとってさらに重要なのは、「標本平均の分布が正規に近づく」という保証を与える点で、これが 標本抽出と推定 の信頼区間 confidence interval 信頼区間（confidence interval） confidence interval（信頼区間） と 仮説検定の論理 のすべての土台になる。

⚠️ 中心極限定理は万能ではない。極端に歪んだ分布や、外れ値が支配的な分布では、収束に必要な $n$ が非常に大きくなる。「$n \ge 30$ なら正規と見なしてよい」という経験則 rules of thumb 経験則（rules of thumb） rules of thumb（経験則） が広く流布しているが、これは分布の歪みの程度に依存する目安にすぎず、保証ではない。

まとめ

• 事象は観測可能でなければならない。基本事象は $\Omega$ を隙間なく覆う
• 確率は相対度数 $k_A/N$ の $N \to \infty$ での安定先（頻度論的定義）。1回限りの事象を扱うにはベイズ的定義が要る
• 排反なら足せる（$P(A \cup B) = P(A)+P(B)$）、独立なら掛けられる（$P(A \cap B) = P(A)P(B)$）。この2つは別物で、排反な事象は独立ではない
• 条件付き確率 $P(A \mid B) = P(A \cap B)/P(B)$ は「$B$ の中だけで数え直す」こと。オッズoddsオッズ（odds）odds（オッズ）・RR・OR はここから導かれる
• 密度は確率ではない。面積が確率である
• 二項分布は「$n$・2値・$p$ 一定・独立」の4条件。臨床で破れやすいのは独立性。下側は $\le$、上側は $>$ で等号の扱いが違う
• 正規分布Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution）Gaussian/normal distribution（正規分布） は $\mu$（重心・ピーク）と $\sigma$（変曲点inflection point 変曲点（inflection point）inflection point（変曲点） までの距離）で決まる。標準化 $z = (x-\mu)/\sigma$ で単位が消える
• 68/95/99.7 は真の正規分布 Gaussian/normal distribution 正規分布（Gaussian/normal distribution） Gaussian/normal distribution（正規分布） でのみ厳密。裾への外挿は危険。95%の正確な倍率は 2 ではなく 1.96
• 右に歪んだ生体データは対数正規のことが多い。逆変換で得られるのは幾何平均
• ヒストグラムだけで正規性を判断しない。QQプロットを併用する。正規性検定は n に依存して結論 conclusion 結論（conclusion） conclusion（結論） が変わる
• そもそも必要なのはデータの正規性ではなく推定量の標本分布の正規性。n が大きければ中心極限定理が効く