ベイズ法

🧠 全体像：ベイズ法は「信じている度合いを、新しい証拠で更新する規則」である。臨床医は毎日これをやっている——問診 medical interview (history-taking) 問診（medical interview (history-taking)） medical interview (history-taking)（問診） で見当をつけ（事前確率pretest probability事前確率（pretest probability）pretest probability（事前確率））、検査結果でその見当を修正する（事後確率）。尤度比で覚えた $O_{\text{post}} = O_{\text{pre}} \times LR$ は、この規則の臨床用の衣装にすぎない。ベイズ法を学ぶとは、新しい計算を覚えることではなく、すでにやっている推論に名前と算術を与えることである。

頻度論の枠組みと、その限界

これまでの仮説検定は、次の一本道を通ってきた。

flowchart TD
  A["現実の問い"] --> B["Yes/No の形に直す"]
  B --> C["H0 を立てる<br>（よく知られた状況を仮定として置く）"]
  C --> D["有意水準 α を決める<br>＝ H0 にどれだけ固執するか"]
  D --> E["条件付き確率を計算する<br>P（観測以上に極端な結果 ｜ H0）"]
  E --> F["p < α なら H0 を棄却<br>p ≥ α なら H0 を棄却しない"]

この枠組みは強力だが、3つの構造的な制約 Limitations制約（Limitations） Limitations（制約）をもつ。

💡 3つ目が臨床では特に痛い。「この所見が出るのは珍しい」という事実だけでは診断はできない——その疾患がそもそもどれくらいありそうかを知らなければ意味がない。有病率prevalence 有病率（prevalence）prevalence（有病率） 0.1%の疾患と20%の疾患では、同じ陽性所見の意味がまったく違う（→ 診断検査diagnostic testing 診断検査（diagnostic testing）diagnostic testing（診断検査） の評価）。

すべての確率は条件付きである

⭐ 統計的な言明はすべて、何らかの条件のもとで述べられている。 正しく書けば $P(A \mid H_0, C)$ であり、$C$ は実験条件・測定法・対象集団study population対象集団（study population）study population（対象集団）・使った知識の全体である。$C$ は普通は省略されるが、消えたわけではない。

そして $C$ には、測定装置の仕様だけでなくその判断をする主体の知識も含まれている。臨床の会話は現にこの形をしている。

• 「今日はたぶん良い天気になる」
• 「心配いりません、手術はうまくいったはずです」

これらは頻度としては定義できない確率である。しかし定義できないから非科学的だ、と切り捨てると臨床判断の大半が扱えなくなる。ベイズ主義は、こうした言明を計算の中に取り込む道を用意する。

確率の2つの意味

⚠️ 「主観確率」は「好き勝手に決めてよい確率」ではない。 要求されているのは相互主観性intersubjectivity相互主観性（intersubjectivity）intersubjectivity（相互主観性）——同じ状況 $C$ を知っている人は全員が同じ数値を置けなければならない。同じ検査報告を読み、同じ専門的訓練を受けた医師 medical doctor 医師（medical doctor） medical doctor（医師） なら、可能な診断のそれぞれに同じ確率を置く、という水準である。

💡 これを担保する道具 tool 道具（tool） tool（道具） 立てが2つある。

賭けとして表現された確率はコヒーレント（整合的） でなければならない。互いに排反な事象の確率の和が1を超えるような置き方をすると、その人を相手に必ず勝てる賭けの組み合わせが作れてしまう（ダッチブック論法）。すなわちベイズ的確率は「気分」ではなく、コルモゴロフの公理と同じ規則に従うことを要求される量である。

💡 だから形式上の変化は何もない。頻度論的確率が存在する場合、ベイズ的確率はそれと同じ値を与える。 ベイズ主義は頻度論を否定するのではなく、頻度が定義できない場面にまで確率の適用範囲を広げている。

ベイズの定理

条件付き確率の定義から出発する。

同時確率は2通りに分解できる。

これを $P(H \mid A)$ について解けば、条件を「ひっくり返す」ことができる。

⭐ これがベイズの定理である。左辺は事象 $A$ を観測したあとでの仮説 $H$ の確からしさであり、これこそ臨床医が知りたいものである。

⚠️ 尤度likelihood 尤度（likelihood）likelihood（尤度） は確率だが「$H$ についての確率」ではない。 $P(A \mid H)$ を $H$ の関数として見たとき、その総和 sum 総和（sum） sum（総和） は1にならない。「尤度likelihood 尤度（likelihood）likelihood（尤度） が高い仮説＝ありそうな仮説」ではなく、事前確率pretest probability 事前確率（pretest probability）pretest probability（事前確率） を掛けて初めて確からしさになる。

分母の $P(A)$ は「起こりうる全ての道」の和

⚠️ ベイズの定理を使う際の最大の実務的落とし穴がここである。$P(A)$ を求めるには、$A$ が起こりうる経路をすべて数え上げなければならない。 仮説が「あり／なし」の2つだけなら簡単で、

これを代入した形が、実際に使う式である。

💡 診断の文脈でこの式を読み直すと、そのまま PPV の式になる。$H$＝疾患あり、$A$＝検査陽性、$P(H)$＝有病率 prevalence有病率（prevalence） prevalence（有病率） $w$、$P(A \mid H)$＝感度、$P(A \mid \bar{H})$＝$1-$特異度 とすれば、

⭐ 診断検査diagnostic testing 診断検査（diagnostic testing）diagnostic testing（診断検査） の評価で暗記した PPV の式は、ベイズの定理の特殊な場合にすぎない。

低有病率のスクリーニング——ベイズの正典的な例

感度99%・特異度99%というきわめて優秀な検査を、有病率prevalence 有病率（prevalence）prevalence（有病率） 0.1%の集団でスクリーニングに使う。陽性者が本当に疾患をもつ確率は？

⭐ わずか9%。 陽性者の10人に9人は疾患をもたない。

def posterior(prior, se, sp):                   # 陽性のときの事後確率
    return prior*se / (prior*se + (1-prior)*(1-sp))
print(posterior(0.001, 0.99, 0.99))             # 0.0902 → 9.0%

自然頻度に直すと直観で分かる

同じ計算を、10万人の集団で数え上げる形に書き換える。

陽性者1,098人のうち疾患があるのは99人。$99/1098 = 9.0$。

💡 同じ問題でも、条件付き確率の形で出されると医師 medical doctor 医師（medical doctor） medical doctor（医師） でも大きく外すが、自然頻度（◯人中 philtrum 人中（philtrum） philtrum（人中） △人）の形で出されると訓練なしに正答率が跳ね上がる²。これは知識ではなく形式の問題である。患者に説明するときも、自分で暗算するときも、まず自然頻度に直すのが最も確実な作法である（→ 治療のリスクを伝える）。

⚠️ この例が示すのは「検査が悪い」ではない。感度99%・特異度99%は現実にはほとんど到達できない水準である。それでもなお、事前確率pretest probability 事前確率（pretest probability）pretest probability（事前確率） が十分に低ければ陽性の意味は薄い。 悪いのは検査ではなく、事前確率pretest probability 事前確率（pretest probability）pretest probability（事前確率） を無視 neglect 無視（neglect） neglect（無視） して検査を適用したことである。これがスクリーニングの適応を有病率 prevalence 有病率（prevalence） prevalence（有病率） で絞る理由そのものである。

事前確率が高い場面——診断の例

低有病率 prevalence 有病率（prevalence） prevalence（有病率） の例だけを見ると「検査は無力だ」と思いかねないので、逆の例を置く。

胃潰瘍gastric ulcer 胃潰瘍（gastric ulcer）gastric ulcer（胃潰瘍） を疑う患者がいて、病歴と診察からの検査前確率 pretest probability 検査前確率（pretest probability） pretest probability（検査前確率） を $P(H) = 15$ とする。ここで Helicobacter pylori の PCRPCR（polymerase chain reaction） 検査を行い、陽性だった。この検査は胃潰瘍 gastric ulcer 胃潰瘍（gastric ulcer） gastric ulcer（胃潰瘍） の患者では92%が陽性になる。

⭐ 検査前15%だった見当が、検査後60%まで上がった。同じ検査でも事前確率 pretest probability 事前確率（pretest probability） pretest probability（事前確率） が違えば結論 conclusion 結論（conclusion） conclusion（結論） がまるで違う——これが前節との対比である。

⚠️ ただし分母の $0.1072$ の出所には注意が要る。これは PCR 検査の性能（感度95%・特異度91%）と一般集団での H. pylori 感染率2%から求めた「一般集団で検査が陽性になる確率」 $P(+)$ である。

ベイズの定理が要求しているのは $P(+ \mid \bar{H})$ であって $P(+)$ ではない、と説明を補っておく必要がある。ここでは「胃潰瘍gastric ulcer 胃潰瘍（gastric ulcer）gastric ulcer（胃潰瘍） でない患者の H. pylori 感染率は一般集団とほぼ同じ」という近似のもとで $P(+)$ を代用している。この近似は、胃潰瘍gastric ulcer 胃潰瘍（gastric ulcer）gastric ulcer（胃潰瘍） と H. pylori 感染が独立であるときにしか正しくないが、実際には胃潰瘍 gastric ulcer 胃潰瘍（gastric ulcer） gastric ulcer（胃潰瘍） の大半は H. pylori 感染に起因するので、両者は強く関連している。したがってこの計算は $P(+ \mid \bar{H})$ を過大評価し、事後確率を過小評価している可能性が高い。

💡 これは細かい揚げ足取りではなく、ベイズ計算で最も壊れやすいのが分母であるという一般的な教訓である。「疾患でない人たちの中でその所見が出る確率」を、うっかり「一般集団でその所見が出る確率」で置き換えていないか——毎回ここを確認する。

オッズ形——尤度比との接続

ベイズの定理を疾患ありと疾患なしについて2本並べる。

辺々で割ると、厄介な分母 $P(+)$ がきれいに消える。

⭐ これが本ノートの中心である。 左から読めば「事後オッズ oddsオッズ（odds） odds（オッズ） ＝ 事前オッズ oddsオッズ（odds） odds（オッズ） × 尤度比」、前回の言い方では

まったく同じ一本の式である³。

💡 オッズodds オッズ（odds）odds（オッズ） 形を使う実務上の利点は3つある。

1. 分母 $P(A)$ を計算しなくてよい。 割り算で消えるので、全経路の数え上げが不要になる
2. 証拠を掛け算で重ねられる。 $O_{\text{post}} = O_{\text{pre}} \times LR_1 \times LR_2 \times \cdots$
3. 対数を取れば足し算になる。 $\log O_{\text{post}} = \log O_{\text{pre}} + \sum_j \log LR_j$

3番目が示すのは、ロジスティック回帰の係数が $\log LR$ にほかならないということである。所見ごとの「重み」を足し上げるという臨床予測ルール clinical prediction rule 臨床予測ルール（clinical prediction rule） clinical prediction rule（臨床予測ルール） の構造は、ベイズ更新の対数版そのものである。

同じ検査、違う集団

感度90%・特異度90%の検査（$LR^{+} = 9$、$LR^{-} = 0.111$）を、事前確率pretest probability 事前確率（pretest probability）pretest probability（事前確率） の違う2つの場面で使う。

se, sp, pre = 0.90, 0.90, 0.03
lr = se / (1 - sp)                      # 9.0
odds = pre/(1-pre) * lr                 # 事前オッズ × 尤度比
print(odds / (1 + odds))                # 0.218

⚠️ 検査は事前確率 pretest probability 事前確率（pretest probability） pretest probability（事前確率） を置き換えない。掛け算で修正するだけである。 3%の集団では、$LR = 9$ という強力な陽性所見をもってしてもなお78%は疾患をもたない。「検査結果だけを見て判断してはいけない」という臨床の教えは、この掛け算の性質の言い換えである。

仮説が3つ以上ある場合、連続の場合

診断は普通「あり／なし」ではなく、鑑別診断differential diagnosis 鑑別診断（differential diagnosis）differential diagnosis（鑑別診断） のリストの上での確率分布である。仮説が $H_1, H_2, \ldots, H_n$ と並んでいるとき、検査結果 $X_i$ を見たあとの各仮説の確率は

⭐ 分母は全仮説にわたる和であり、鑑別診断differential diagnosis 鑑別診断（differential diagnosis）differential diagnosis（鑑別診断） のリストが網羅的でなければこの計算は正しくならない。「考えていなかった疾患」は、確率0が割り当てられたのと同じことになり、どれだけ証拠が積み上がっても浮上してこない。これはベイズ推論の限界であると同時に、鑑別を広く挙げることの数学的な根拠でもある。

仮説が連続量（薬の効果の大きさ、パラメータParameter パラメータ（Parameter）Parameter（パラメータ） の値）の場合も形は同じで、和が積分に変わる。

事前分布が、データを通して事後分布に更新される。

flowchart TD
  A["事前分布 f(h)<br>——今までに分かっていること"] --> C["ベイズの定理"]
  B["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='likelihood'>尤度</span> P(x｜h)<br>——新しいデータ"] --> C
  C --> D["事後分布 f(h｜x)<br>——更新後の信念"]
  D --> E["次のデータが来たら<br>これが新しい事前分布になる"]
  E --> A

⚠️ この計算が成立するには2つの条件が要る。

ベイズと頻度論——どう使い分けるか

⚠️ どちらが「正しい」という問題ではない。答えている問いが違う。

💡 実務上の橋渡しになるのがベイズ因子（＝尤度比） である⁴。これは事前分布を必要とせず、データが2つの仮説のどちらをどれだけ支持するかだけを表す。事前オッズ odds オッズ（odds） odds（オッズ） と掛ければ事後オッズ odds オッズ（odds） odds（オッズ） になるので、「証拠の強さ」と「事前の信念」を分離して議論できる。尤度比が臨床で使いやすいのは、まさにこの分離のおかげである——教科書は $LR$ を載せ、読者は自分の事前確率 pretest probability 事前確率（pretest probability） pretest probability（事前確率） を持ち込む。

「p < 0.05 なら H0 が正しい確率は5%未満」は誤りである¹。事前確率pretest probability 事前確率（pretest probability）pretest probability（事前確率） が低い仮説では、p = 0.05 で有意になった所見の多くが偽陽性になりうる。p値の解釈が難しいのは、それが事前確率 pretest probability 事前確率（pretest probability） pretest probability（事前確率） を含んでいないからである——ここでも足りないのは同じピースである。

ベイズ的意思決定

診断が確率分布として得られたら、次はどうするかである。事後確率だけでは決定できない——選択肢ごとの結果の良し悪しが要る。

flowchart TD
  A["事前分布"] --> B["ベイズの定理"]
  C["観測・検査結果"] --> B
  B --> D["事後分布"]
  D --> E["効用関数 G(H)<br>——各結果の望ましさ"]
  E --> F["期待効用が最大の選択肢を選ぶ"]
  F --> G["決定"]

選好が2つの公理——完備性（どの2つも比較できる）と推移性（$1 \preccurlyeq 2$ かつ $2 \preccurlyeq 3$ なら $1 \preccurlyeq 3$）——を満たすとき、その選好は効用関数 $G$ で数値化できる（von Neumann–Morgenstern の期待効用理論）。そして選ぶべきは期待効用を最大にする選択肢である。

💡 これが「感度を優先するか特異度を優先するか」の一般形である。 見落としの損失が偽陽性の損失より大きければ、期待効用の最大化は自動的に低いカットオフ cut-off カットオフ（cut-off） cut-off（カットオフ） を選ぶ。ROCROC（receiver operating characteristic）曲線で「臨床上どちらが重要かを先に決める」と言ったのは、暗黙に効用関数を指定していたということである。

⚠️ 効用の設定は統計の問題ではなく価値判断である。誰の効用か（患者か、医療システムか）で答えが変わる。ここを統計家に丸投げすることはできない（→ 調査法・データ表の作り方・統計家との協働）。

医学への応用

💡 ベイズ的に検査結果を読む順序

1. 事前確率pretest probability事前確率（pretest probability）pretest probability（事前確率） — この患者で、検査の前にどれくらいありそうか。ここを飛ばすと以降がすべて無意味になる
2. 尤度比 — その結果は疾患ありと疾患なしでどれだけ起こりやすさが違うか
3. 事後確率 — 掛け算した結果。自然頻度に直して確認する
4. 決定が変わるか — 事後確率が動いても治療方針 treatment strategy 治療方針（treatment strategy） treatment strategy（治療方針） が変わらないなら、その検査は行う必要がなかった

まとめ

• ベイズの定理 $P(H \mid A) = \dfrac{P(A \mid H)P(H)}{P(A)}$ は、条件をひっくり返す規則である。$P(\text{data} \mid H)$ しか出せない頻度論に対し、臨床医が本当に欲しい $P(H \mid \text{data})$ を与える
• 事前確率pretest probability 事前確率（pretest probability）pretest probability（事前確率） ＝検査前確率 pretest probability検査前確率（pretest probability） pretest probability（検査前確率）、尤度likelihood 尤度（likelihood）likelihood（尤度） ＝感度／(1−特異度)、事後確率＝検査後確率 post-test probability 検査後確率（post-test probability） post-test probability（検査後確率） （PPV）。PPV の公式 official 公式（official） official（公式） はベイズの定理の特殊例にすぎない
• 分母 $P(A)$ が最も壊れやすい。 必要なのは $P(A \mid \bar{H})$ であって、一般集団の $P(A)$ ではない
• 低有病率 prevalence 有病率（prevalence） prevalence（有病率） の正典例：感度99%・特異度99%でも有病率 prevalence 有病率（prevalence） prevalence（有病率） 0.1%なら陽性的中値は9%。悪いのは検査ではなく、事前確率pretest probability 事前確率（pretest probability）pretest probability（事前確率） を無視 neglect 無視（neglect） neglect（無視） した適用である
• 自然頻度（10万人中 philtrum人中（philtrum） philtrum（人中）…）に直すと、同じ問題の正答率が劇的に上がる。暗算にも患者説明にも使う
• オッズodds オッズ（odds）odds（オッズ） 形にすると分母が消え、$O_{\text{post}} = O_{\text{pre}} \times LR$ になる。これは尤度比の式と文字どおり同一である。対数を取れば足し算になり、それがロジスティック回帰の係数の正体
• 鑑別診断differential diagnosis 鑑別診断（differential diagnosis）differential diagnosis（鑑別診断） が3つ以上なら分母は全仮説の和。挙げていない疾患は確率0として扱われ、決して浮上しない
• 頻度論とベイズは答えている問いが違う。頻度論は事前分布を要さず誤り率を制御でき、ベイズは個別判断と逐次更新に強い。ベイズ因子（尤度比）は両者の橋渡しで、証拠の強さと事前の信念を分離できる
• 事後確率だけでは決まらない。効用を掛けて期待効用を最大化して初めて決定になる。効用の設定は統計ではなく価値判断である