Boltzmann分布の応用III：気圧公式

🧠 気圧公式barometric formula 気圧公式（barometric formula）barometric formula（気圧公式） は重力ポテンシャルエネルギー gravitational potential energy 重力ポテンシャルエネルギー（gravitational potential energy） gravitational potential energy（重力ポテンシャルエネルギー） が高いほど気体分子の数密度 number density 数密度（number density） number density（数密度） が指数関数的 exponentially 指数関数的（exponentially） exponentially（指数関数的） に減ることを示す。

重力場でのBoltzmann分布

等温理想大気isothermal ideal atmosphere 等温理想大気（isothermal ideal atmosphere）isothermal ideal atmosphere（等温理想大気） ではボルツマン因子 Boltzmann factor ボルツマン因子（Boltzmann factor） Boltzmann factor（ボルツマン因子） を重力ポテンシャルエネルギー gravitational potential energy重力ポテンシャルエネルギー（gravitational potential energy） gravitational potential energy（重力ポテンシャルエネルギー）$mgh$へ適用する。

flowchart TD
  A["高度上昇"]
  B["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='gravity'>重力</span>ポテンシャル増加"]
  C["Boltzmann因子に従う<span class='jp-term jp-term-diagram' title='population'>占有数</span>減少"]
  D["圧力低下"]
  A --> B
  B --> C
  C --> D

静水圧平衡からの導出

高度 $h$ で厚さ $dh$ の気柱 air column 気柱（air column） air column（気柱） を考える。上向きを正とすると、静水圧hydrostatic pressure 静水圧（hydrostatic pressure）hydrostatic pressure（静水圧） 平衡より圧力の減少は気柱 air column 気柱（air column） air column（気柱） の重さに等しい。

物質量を $\nu$ とすると、等温の理想気体 ideal gas 理想気体（ideal gas） ideal gas（理想気体） では $pV=\nu RT$ である。モル質量molar mass モル質量（molar mass）molar mass（モル質量） を $M$ とすれば、質量密度mass density 質量密度（mass density）mass density（質量密度） は $\rho=M\nu/V=Mp/(RT)$ となる。これを代入して変数 variables 変数（variables） variables（変数） 分離すると、

したがって気圧公式 barometric formula 気圧公式（barometric formula） barometric formula（気圧公式） は、

となる。ここで $p_0=p(0)$、$M$ は気体のモル質量 molar mass モル質量（molar mass） molar mass（モル質量） であり、$T$、$g$、気体組成を一定と仮定している。

ボルツマン因子とスケールハイト

1分子の質量を $m$ とすれば、高度 $h$ で増加する重力ポテンシャルエネルギー gravitational potential energy 重力ポテンシャルエネルギー（gravitational potential energy） gravitational potential energy（重力ポテンシャルエネルギー） は $mgh$ である。したがって数密度 number density 数密度（number density） number density（数密度） にも同じ指数則が成り立つ。

$M=N_A m$、$R=N_Ak_B$ を用いると、分子表示とモル表示が一致する。スケールハイトscale heightスケールハイト（scale height）scale height（スケールハイト） $H$ を

と定義すれば、圧力分布は $p(h)=p_0e^{-h/H}$ と簡潔に書ける。高度が $H$ 上がるごとに圧力は $1/e$ になる。実大気では温度と組成が高度で変わるため、この単純な指数関数 negative exponential 指数関数（negative exponential） negative exponential（指数関数） には補正が必要である。

等温近似と高度依存性

重力ポテンシャルエネルギーgravitational potential energy重力ポテンシャルエネルギー（gravitational potential energy）gravitational potential energy（重力ポテンシャルエネルギー）$mgh$をBoltzmann因子へ代入すると高度分布が得られ、圧力と粒子数密度 number density 数密度（number density） number density（数密度） の換算には理想気体ideal gas 理想気体（ideal gas）ideal gas（理想気体） の状態方程式 van der Waals equation状態方程式（van der Waals equation） van der Waals equation（状態方程式）を使う。

• 重い気体ほどスケールハイト scale height スケールハイト（scale height） scale height（スケールハイト） が小さい。
• 温度が高いほど高度による減少は緩やか。
• $h\ll H$ なら $e^{-h/H}\simeq1-h/H$ より、$p(h)\simeq p_0(1-h/H)$ と線形近似できる。

生体・医学での解釈

高地で大気圧 atmospheric pressure 大気圧（atmospheric pressure） atmospheric pressure（大気圧） と酸素分圧 partial pressure of oxygen 酸素分圧（partial pressure of oxygen） partial pressure of oxygen（酸素分圧） が低下する理由を示す。酸素モル分率 $x_{\mathrm{O_2}}$ を一定とみなせる範囲では、酸素分圧partial pressure of oxygen 酸素分圧（partial pressure of oxygen）partial pressure of oxygen（酸素分圧） も $p_{\mathrm{O_2}}(h)=x_{\mathrm{O_2}}p(h)$ に従って低下する。

高地の低圧低酸素環境では、生理学的適応とエリスロポエチン erythropoietin, EPO エリスロポエチン（erythropoietin, EPO） erythropoietin, EPO（エリスロポエチン） 産生の増加が観察される。¹²

まとめ

• 気圧公式barometric formula 気圧公式（barometric formula）barometric formula（気圧公式） は重力ポテンシャルエネルギー gravitational potential energy 重力ポテンシャルエネルギー（gravitational potential energy） gravitational potential energy（重力ポテンシャルエネルギー） が高いほど気体分子の数密度 number density 数密度（number density） number density（数密度） が指数関数的 exponentially 指数関数的（exponentially） exponentially（指数関数的） に減ることを示す。
• 重い気体ほどスケールハイト scale height スケールハイト（scale height） scale height（スケールハイト） が小さい。
• 高地で大気圧 atmospheric pressure 大気圧（atmospheric pressure） atmospheric pressure（大気圧） と酸素分圧 partial pressure of oxygen 酸素分圧（partial pressure of oxygen） partial pressure of oxygen（酸素分圧） が低下する理由を示す。