Boltzmann分布の応用I：Nernstの式

🧠 ネルンストNernst ネルンスト（Nernst）Nernst（ネルンスト） の式 Nernst equation 式（Nernst equation） Nernst equation（式） は、膜を挟む濃度差 concentration difference 濃度差（concentration difference） concentration difference（濃度差） と電位差 potential difference 電位差（potential difference） potential difference（電位差） が1種類のイオンについて釣り合う平衡電位 equilibrium potential 平衡電位（equilibrium potential） equilibrium potential（平衡電位） を与える。

濃度差と電位差の釣り合い

濃度勾配はイオンを高濃度側から低濃度側へ拡散させ、膜を隔てた電場 electric field 電場（electric field） electric field（電場） はイオンの電荷に応じて逆向きまたは同じ向きに力を加える。対象イオンが膜を透過できる平衡条件で両者が釣り合い、電気化学ポテンシャルelectrochemical potential 電気化学ポテンシャル（electrochemical potential）electrochemical potential（電気化学ポテンシャル） が膜の両側で等しくなると正味流束 net flux 正味流束（net flux） net flux（正味流束） は0になる。¹

flowchart TD
  A["濃度勾配が拡散を駆動"]
  B["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='charge separation'>電荷分離</span>で電位勾配形成"]
  C["両者が釣り合い<span class='jp-term jp-term-diagram' title='Nernst'>ネルンスト</span>電位（Nernst potential）"]
  A --> B
  B --> C

電気化学ポテンシャルからの導出

イオンの電気化学ポテンシャル electrochemical potential電気化学ポテンシャル（electrochemical potential） electrochemical potential（電気化学ポテンシャル） $\tilde\mu$ は、化学ポテンシャルchemical potential 化学ポテンシャル（chemical potential）chemical potential（化学ポテンシャル） と電気的位置エネルギー electric potential energy 電気的位置エネルギー（electric potential energy） electric potential energy（電気的位置エネルギー） の和である。

$a$ は活量、$z$ はイオンの価数、$F$ はファラデー Faraday ファラデー（Faraday） Faraday（ファラデー） 定数、$\phi$ は電位である。膜の内外で同じ標準状態を用い、平衡条件 $\tilde\mu_{\mathrm{in}}=\tilde\mu_{\mathrm{out}}$ を課すと、

したがって、膜電位を「内側 − 外側」で定義した単一イオンの平衡電位 equilibrium potential 平衡電位（equilibrium potential） equilibrium potential（平衡電位） は、

となる。希薄rarefaction 希薄（rarefaction）rarefaction（希薄） 溶液では活量比を濃度比で近似してよい。

体温 $37,{}^\circ\mathrm{C}$（$310,\mathrm{K}$）では、$2.303RT/F\simeq61.5,\mathrm{mV}$ なので、

と計算できる。濃度比の向き、膜電位の定義、$z$ の符号を一貫させることが重要である。

単一イオン平衡電位の解釈

濃度差concentration difference 濃度差（concentration difference）concentration difference（濃度差） と電位差 potential difference 電位差（potential difference） potential difference（電位差） をまとめた電気化学ポテンシャルelectrochemical potential電気化学ポテンシャル（electrochemical potential）electrochemical potential（電気化学ポテンシャル）が膜の両側で等しいと正味流束 net flux 正味流束（net flux） net flux（正味流束） が0になる。濃度比の対数項はBoltzmann分布から導かれる。

• 陰イオンanion 陰イオン（anion）anion（陰イオン） では$z<0$。
• 絶対温度$T$が上がると、同じ濃度比に対する電位差 potential difference 電位差（potential difference） potential difference（電位差） の絶対値は大きくなる。
• 式は対象イオンが膜を透過でき、活量を濃度で近似できる平衡状態を仮定する。
• Nernst電位は単一イオンの平衡電位 equilibrium potential 平衡電位（equilibrium potential） equilibrium potential（平衡電位） であり、複数イオンの透過性・輸送・界面条件が関与する実際の膜電位とは一般に一致しない。²

生体・医学での解釈

K⁺、Na⁺、Cl⁻それぞれの平衡電位 equilibrium potential 平衡電位（equilibrium potential） equilibrium potential（平衡電位） を求め、静止膜電位resting membrane potential 静止膜電位（resting membrane potential）resting membrane potential（静止膜電位） がどのイオンの平衡電位 equilibrium potential 平衡電位（equilibrium potential） equilibrium potential（平衡電位） へ近いかを透過性と対応させる基礎になる。

まとめ

• ネルンストNernst ネルンスト（Nernst）Nernst（ネルンスト） の式は、膜を挟む濃度差 concentration difference 濃度差（concentration difference） concentration difference（濃度差） と電位差 potential difference 電位差（potential difference） potential difference（電位差） が1種類のイオンについて釣り合う平衡電位 equilibrium potential 平衡電位（equilibrium potential） equilibrium potential（平衡電位） を与える。
• 濃度比の向きと価数$z$が電位の符号を決め、陰イオンanion 陰イオン（anion）anion（陰イオン） では符号が反転する。
• 単一イオンの平衡電位 equilibrium potential 平衡電位（equilibrium potential） equilibrium potential（平衡電位） と、複数イオンから決まる実際の膜電位を区別する。