生体力学IV：ラプラス・フランク方程式

🧠 ラプラスLaplaceラプラス（Laplace）Laplace（ラプラス）・フランクFrank フランク（Frank）Frank（フランク） の式は、血管内外の圧差が壁を周方向へ引き伸ばす応力へどう変換されるかを、半径と壁厚を含めて示す。

血管壁に生じる周方向応力

壁内外圧差transmural pressure壁内外圧差（transmural pressure）transmural pressure（壁内外圧差）$p$ は、円筒状の血管を押し広げる。半径 $r$ に比べて壁厚 $h$ が十分小さい薄肉円筒では、周方向壁応力circumferential wall stress周方向壁応力（circumferential wall stress）circumferential wall stress（周方向壁応力）$σ_t$ は

で近似できる。圧力または半径が大きいほど壁応力 wall stress 壁応力（wall stress） wall stress（壁応力） は増え、壁が厚いほど同じ荷重を広い断面で分担できる。ただし実血管の厚い壁、非円形形状、材料の異方性 anisotropy異方性（anisotropy） anisotropy（異方性）、不均一な壁厚では局所応力をこの式だけで求められない。^{1 2}

壁張力との区別

壁張力wall tension 壁張力（wall tension）wall tension（壁張力） は単位軸長当たりの周方向の力で、薄肉円筒では $T=pr$ と表す。一方、壁応力wall stress 壁応力（wall stress）wall stress（壁応力） は張力を壁厚で割った量である。材料の応力として破壊リスクを考えるときは、$h$ を含む $σ_t$ を使う。

動脈瘤の正のフィードバック

flowchart TD
  A["<span class='jp-term jp-term-diagram' title='vessel radius'>血管半径</span>が増大"] --> B["同じ血圧でも<span class='jp-term jp-term-diagram' title='wall stress'>壁応力</span>が上昇"]
  B --> C["壁の伸展・損傷が進む"]
  C --> D["さらに半径が増大"]
  D --> B

動脈瘤では、単純化すれば半径増大と壁菲薄化が応力を増やし、拡張を促しうる。ただし壁厚は局所的に大きく変化し、形状、曲率curvature曲率（curvature）curvature（曲率）、材料劣化、血流も関与する。動脈壁の伸展性 distensibility伸展性（distensibility） distensibility（伸展性）低下や組織変性も加わるため、式だけで破裂を予測はできない。²

流量や血管抵抗を扱うハーゲンHagen ハーゲン（Hagen）Hagen（ハーゲン） –ポアズイユ Poiseuille ポアズイユ（Poiseuille） Poiseuille（ポアズイユ） の法則は血管内の流れを記述し、本式は血管壁の力学を記述する。両者の対象を分ける。

まとめ

• 薄肉円筒では周方向壁応力 circumferential wall stress 周方向壁応力（circumferential wall stress） circumferential wall stress（周方向壁応力） は $\sigma_t=pr/h$ で近似される。
• 壁張力wall tension壁張力（wall tension）wall tension（壁張力） $T=pr$ と、壁厚を含む壁応力 wall stress 壁応力（wall stress） wall stress（壁応力） を区別する。
• 動脈瘤では半径増大と壁菲薄化が壁応力 wall stress 壁応力（wall stress） wall stress（壁応力） を上げ、拡張を促進しうる。